, (1.63)

де – емпіричні константи.

Іншим параметром рівняння (1.62) є ентальпія йонізації дефекту В . В припущенні незмінності об'єму рівна енергії йонізації дефекту, визначення числових значень якої є досить складною і в даний час не до кінця вирішеною теоретичною задачею.

Тепер розглянемо теоретичні методи обчислення енергетичного спектра дефектів. Як вказує [24], першу гіпотезу про можливий енергетичний спектр власного міжвузлового атома і вакансії в напівпровідниках (кристалічна решітка типу алмазу) висунули [25] . Вони досліджували власний міжвузловий атом, занурений в середовище з великою діелектричною проникністю, і енергію, необхідну для його йонізації, розглядали в наближенні ефективної маси з екранованим кулонівським потенціалом. Не дивлячись на те, що з цієї першої роботи пройшов досить значний час, точні розрахунки і в даний час відсутні, тільки використовуваних методів обчислення стало значно більше, наприклад, метод псевдопотенціалу, метод функції Гріна, квантово-хімічні методи і т.д. Складність проблеми полягає в томy, що при розрахунку енергетичного спектра локального центра необхідно розглядати його повне оточення атомами речовини, тобто отримується вирішення задачі з багатьма частинками. При цьому протилежно ідеальному кристала, що володіє дуже високою симетрією, симетрія системи з дефектами відносно низька. Відзначимо, що тут і далі в основному говоритимемо про енергію йонізації глибоких центрів. Що стосується дрібних центрів, то теорія ефективної маси, хоч і є наближеним методом, дає досить точні значення їх енергії йонізації. Разом з тим цей метод є найбільш простим зі всіх існуючих наближених методів розрахунку енергетичного положення центрів.

Зупинимося детальніше на теорії глибоких центрів, оскільки структура дрібних центрів в основному залишається незмінною при зміні в досить широких межах таких чинників дії на напівпровідник як температура, освітлення і т.д. В той же час глибокі центри залежно від зовнішніх чинників можуть істотно змінювати свої функції (бути центрами прилипання, рекомбінації, володіти різним ступенем йонізації), внаслідок чого змінюватимуться параметри напівпровідникового матеріалу.

Одним з перших методів, застосованих для розрахунку енергетичного положення глибоких центрів, був той же метод ефективної маси, що використовується для розрахунку дрібних рівнів. Трансформоване рівняння Шредінгера в цьому випадку виглядає таким чином:

, (1.64)

де F(r) – хвильова функція; Е – шукане значення енергії; r – відстань від дефекту; – ефективна маса електрона; – стала Планка, розділена на 2р.

Необхідність заміни деяких параметрів в рівнянні Шредінгера продиктовано наступними міркуваннями. Рух електрона в твердому тілі відрізняється від його руху у вакуумі, оскільки тут на нього діє періодичний потенціал, зважаючи на що маса електрона m замінюється ефективною масою m*. Кристал також володіє діелектричною проникністю е, внаслідок чого заряд дефекту поляризує середовище, призводячи до діелектричного екранування. Тому необхідно замінити потенціал на . Ще одна зміна пов’язана з початком відліку енергії. У атомі водню початок відліку енергії відповідає нескінченному віддаленню електрона, а в напівпровідниковому кристалі початком відліку буде дно зони провідності, оскільки мінімальна енергія, при якій електрон буде вільним, відповідає дну зони провідності. Внаслідок цього значення енергії основного стану, який в моделі атома водню рівний енергії йонізації, необхідної для звільнення електрона, потрібно замінити різницею енергій Е-ЕС.

Проведені за формулою (1.64) розрахунки в випадку глибоких центрів дали результати, що сильно відрізняються від експериментально спостережуваних значень. Істотну роль тут зіграло відхилення реального потенціалу від кулонівського. Іншою причиною неспівпадання теоретичних розрахунків з експериментальними результатами є та обставина, що екранування поблизу дефекту не таке ефективне. В випадку наявності декількох екстремумів однієї із зон міждолинне змішування також призводить до помилок в розрахунках енергетичного положення рівнів.

Згідно Ройцину (1974), існують п’ять варіантів використання методу ефективної маси для визначення локалізованих станів в кристалах: 1) уточнення потенціалу дефекту; 2) модель геліоподібного центру; 3) врахування реальної зонної структури; 4) двозонна модель; 5) напівемпіричний метод. Зупинимося стисло на їх суті.

В випадку уточнення потенціалу дефекту його значення приймається лише при перевищенні певної відстані, порядок якої відповідає величині відповідної сталої гратки, а при менших відстанях він вибирається або у вигляді атомного потенціалу домішки, або в вигляді . Уточнити потенціал дефекту можна, використовуючи залежність діелектричної проникності від відстані.

Використання моделі геліоподібного центру пов’язане з тим, що атомний спектр вільного гелію зовні схожий на експериментально отримувані спектри деяких домішок в кристалах. Потенціал дефекту записується у вигляді , де zеф – ефективний заряд дефекту, який вибирається такої величини, щоб досягалося якнайкраще співпадання теорії з експериментом.

Зазвичай енергетичні положення дефекту зв’язуються з одним мінімумом функції E(k), яка є параболою, проте насправді часто існує декілька основних мінімумів, не говорячи вже про додаткові. Тому при врахуванні реальної зонної структури вибираються хвильові функції, що відповідають окремим мінімумам.

Глибокі рівні протилежно дрібним в деяких випадках можна вважати пов’язаними з двома зонами, тобто зоною провідності і валентною зоною, внаслідок чого розрахунок енергетичного положення глибоких центрів за двозонною моделлю дещо покращує відповідність експериментальних результатів з теорією.

У напівемпіричному методі при розрахунках як початкові значення використовується частина параметрів, запозичених з експерименту, і при їх допомозі розраховуються інші. Цей метод, не дивлячись на те, що в деяких випадках дає задовільні остаточні результати, має обмежене застосування із-за неможливості визначення точних даних для станів дефектів.

Відзначимо, що серед експериментаторів широко відома модель, запропонована [27] , [28] . Це обумовлено тією обставиною, що з її допомогою були отримані прості вирази спектральних залежностей перетинів фотойонізації нейтральних і негативно заряджених глибоких акцепторних центрів, які дали хорошу згоду з безліччю експериментальних