Лабораторна робот

“Використання класичних методів оптимізації у МСПС”

Мета: Ознайомитися із класичними методами оптимізації та вміти використовувати їх для розв’язування задач у середовищах MathCad і MS Excel.

Хід роботи.

Задати коефіцієнти поліномів для оптимізуючих функцій f(x,y) і функції f(x,y,z).

Використовуючи зразки розв’язування таких задач, розв’язати свої варіанти завдань у середовищах MathCad і MS Excel.

(*) Застосовуючи метод множників Лагранжа, знайти розв’язок такої задачі:

Швейне підприємство запланувало випуск двох видів костюмів: чоловічих і жіночих. На жіночий костюм потрібно 1 м шерсті, 2 м лавсану і 1 людино-день трудових затрат. На чоловічий, відповідно. 3,5 м шерсті, 0,5 м лавсану і 1 людино-день трудових затрат. На складі підприємства є рулони довжиною 3500 м шерсті, 2400 м лавсану і також у розпорядженні 150 людино-днів трудових затрат. За планом передбачається випуск не менше 250 костюмів, причому необхідно для рентабельності підприємства забезпечити прибуток не менше 14000 $. Потрібно визначити оптимальну кількість костюмів кожного типу, що забезпечує максимальний прибуток. Прибуток від реалізації міного костюма – складає 150 $, а від чоловічого – 200 $.

Звіт виконання роботи

Знаходимо перші і другі похідні.

Формуємо матрицю других похідних.

Прирівнюємо до нуля перші похідні і знаходимо корені.

polyroots - повертає вектор всіх коренів полінома, який задається у вигляді матриці коефіцієнтів полінома

Знаходимо власні значення матриці других похідних.

1)

Знаходимо визначник матриці других похідних.

і максимум

або

eigenvals - повертає вектор власних значень заданої матриці

максимум

2)

Визначник матриці другої похідної від'ємний - немає екстремума.

3)

Знаходимо визначник матриці других похідних.

і мінімум або мінімум

4)

Знаходимо визначник матриці других похідних.

Визначник матриці другої похідної від'ємний - немає екстремума.

2. Фукнція двох змінних має дві стаціонарні точки. Їх пошук, як рішення системи рівнянь перших похідних, виконаний з допомогою фунції find(). Показано, як графічне представлення функції допомагає аналізувати її на наявність екстремумів.

Побудова графіків функції.

Знаходимо перші і другі похідні.

Формуємо матрицю других похідних.

Знаходимо першу стаціонарну точку

Будуємо графіки перших похідних.

Знаходження визначника.

і максимум

Знаходження власних значень.

максимум

Знаходимо другу стаціонарну точку.

Знаходження визначника.

і мінімум

Знаходження власних значень.

мінімум

Побудова графіка градієнтного поля.

Межі змін

Число точок

Обчислення градієнта функції

Підготовка до побудови графіка поля

3. Функція трьох змінних.

матриця других похідних

Знаходження першої стаціонарної точки.

Перевірка

Власні значення додатні – мінімум. Визначники додатні. Мінімум.

Знаходження другої стаціонарної точки.

Перевірка

- немає екстремуму.

Знаходження третьої стаціонарної точки.

Перевірка

Отже, власні значення від'ємні і мінори знакозмінні, значить - максимум.

4. Розв’язання задачі у MathCAD

Розв’язання у Microsoft Excel

X | y  | z

150 | 200  

Нерівності обмеження  

1 | 3,5 | ? | 3500

2 | 0,5 | ? | 2400

1 | 1 | ? | 1500

150 | 200 | ? | 14000

1 | 0 | ? | 250

700 | 800  | 265000

Згідно даного варіанту рішення задачі, розв’язок є наступним : швейному підприємству потрібно випускати 700 чоловічих костюмів та 800 жіночих костюмів, що забезпечить підприємству максмальний дохід в розмірі 265000 $.

Висновок: На даній лабораторній роботі я здобув навички у виконанні класичної оптимізації цільових функції у середовищі MathCad. А саме мною було оптимізовано дві функції з двома змінними, для одної з яких я здійснив побудову градієнтного поля, одної функції трьох змінних, а також вирішив класичну економічну задачу оптимізації виробництва.