Лабораторна робота

“Методи оцінки параметрів розподілу”

Мета: На основі експериментальних даних застосувати різні методи для оцінки параметрів розподілу за допомогою засобів MSі MathCad.

Завдання на лабораторну роботу.

1. Створіть у Excel за допомогою функції генерації випадкових чисел (СЛЧИС) масив даних кількістю 250 та поділіть їх на розряди для отримання вибірки цих значень. Ці дані використати для подальшого виконання роботи.

2. Із припущенням, що вибірка значень має нормальний розподіл, знайдіть оцінки максимальної правдоподібності параметрів m і s цього розподілу.

3. Створіть новий масив даних такої самої кількості. Аналогічно, зробіть припущення, що раніше створена вибірка має гамма-розподіл. Необхідно знайти оцінки параметрів m і s цього розподілу.

4. Оцінити методом квантилів параметри нормального розподілу випадкової величини, вибіркові значення якої представлені у раніше створеній таблиці.

5. *Побудувати довірчий інтервал із надійністю g – a для оцінки m1 математичного очікування m1 випадкової величини х, що має експонентний розподіл із функцією густини f(x, l) = l ехр(– l х)

6. **Визначити із надійністю g = 0,9 (a = 0,1) довірчий інтервал для математичного очікування випадкової величини.

1.

2. Із припущення, що вибірка має нормальний розподіл, знаходимо оцінки максимальної правдоподібності параметрів і цього розподілу.

Система рівнянь для знаходження оцінок параметрів:

3. Створюємо новий масив даних і припускаємо, що створена вибірка має гамма-розподіл. Знаходимо і цього розподілу.

Математичне очікування і дисперсія розподілу рівні і відповідно. Їх оцінки і :

Розділивши оцінку математичного очікування на оцінку дисперсії, одержимо

Метод моментів дозволяє одержати здійсненні, достатні оцінки, вони при досить загальних умовах розподілені асимптотично нормально.

4. Оцінити методом квантилів параметри нормального розподілу випадкової величини, вибіркові значення, якої представлені у таблиці.

Вибираємо із варіаційного ряду два емпіричні квантилі. Наприклад можна взяти

Метод квантипів дозволяє одержати асимптотично нормальні оцінки, однак вони несуть у собі деякий субєктивізм, повязаний із відносно довільним вибором квантипів.

5. Побудова довірчого інтервалу із надійністю для оцінки математичного очікувана m1 випадкової величини х, що має експонентний розподіл з функцією густини

Для експонентного закону розподілу математичне очікування:

а дисперсія:

Позначимо через оцінку параметра І. Визначимо оцінку математичного очікування , допоміжну змінну у, похідну від логарифму функції правдоподібності:

Оцінка параметра m1 є здійсненною і незміщеною, отже:

Нормальний розподіл є симетричним, тому границі інтервалу необхідно вибрати симетрично нульовій точці. Імовірність того, що модуль величини w не перевищить деякого заданого значення і буде рівним:

де - значення функції нормального розподілу в точці

Величина дорівнює квантилю стандартного нормального розподілу рівня

Значення абсолютної похибки оцінювання

Отже, маючи достатній обсяг вибірки експериментальних даних і задаючи певний рівень надійності у можна визначити довірчий інтервал

що із заданою імовірністю містить невідомий параметр m1.

6. Визначення із надійністю довірчий інтервал для математичного очікування випадкової величини, представленою вибіркою:

Визначимо оцінки:

Обсяг вибірки не можна вважати великим, тому скористаємося розподілом Стюдента при кількості ступенів вільності, рівній 5. Тоді для двосторонньої критичної області допустиме відхилення стандартизованої величини складе:

Допустиме відхилення вихідної величини складе:

Границі інтервалу: