Хвильова функція. Хвилі імовірності. Образ атома

Ервін Шредінгер, випускник Віденського університету, у 1925 році був уже професором фізики університету в Цюріху. Він, як і багато інших, хотів зрозуміти: "Яка будова атома? І як у ньому рухаються електрони?"

Наприкінці 1925 року в одній зі статей А. Ейнштейна Шредінгер прочитав кілька похвальних слів на адресу де Бройля і його гіпотези про "хвилі матерії". Це був поштовх, який посприяв Шредінгеру розвинути гіпотезу "про хвилі матерії" до її логічного завершення.

Якими ідеями керувався Шредінгер? Очевидно, певну роль відіграла оптико-ме-ханічна аналогія Гамільтона.

У. Гамільтон — великий ірландський астроном і математик — у 1834 році довів, що формальна аналогія між траєкторією руху частинок і траєкторією світлового променя має строгий математичний зміст. У фізиці поняття закону руху виражається за допомогою формул — рівнянь руху. Для хвиль і частинок вони зовсім різні: вирішуючи одні, ми обчислюємо траєкторію частинки, вирішуючи інші — знаходимо форму й швидкість хвилі. Але ми також знаємо, що в оптиці можна намалювати траєкторію світлового променя, знаючи переміщення фронту світлової хвилі. Гамільтон довів, що в механіці можна зробити щось протилежне: замінити траєкторію руху частинки поширенням фронту деякої хвилі. Або ще точніше, рівняння руху механіки можна записати в такому вигляді, що вони цілком збігатимуться з рівняннями геометричної оптики, що описують поширення променя світла без врахування його хвильових властивостей. Тим самим Гамільтон довів оптико-механічну аналогію: рух частинок по траєкторії можна уявити у вигляді поширення променя світла без врахування його хвильових властивостей.

Шредінгер пішов далі й припустив: оптико-механічна аналогія залишається справедливою також і у випадку хвильової оптики. Це означає, що завжди будь-який рух частинок можна уподібнити до поширення хвиль.

Як і будь-яке інше глибоке відкриття, гіпотеза Шредінгера нізвідки логічно не випливала. Але, як усяке справжнє відкриття, вона мала логічні наслідки.

Шредінгер розумів: якою б не була природа електронних хвиль, їх рух повинен підпорядковуватися хвильовому рівнянню. Цю ідею Шредінгеру вдалося виразити дуже точно за допомогою однозначної мови формул. Рівняння Шредінгера, як і будь-який інший глибокий закон природи, не можна вивести лише з більш простих. Його можна тільки вгадати (Шредінгер згодом зізнався, що і сам ще не зовсім розуміє, як це йому вдалося). Ось воно:

Для тих, хто бачить його вперше, воно абсолютно незрозуміле і може викликати лише цікавість або почуття інстинктивного протесту, причому останнє — без серйозних на те підстав. Зауважимо тільки, що це рівняння стало символом квантової країни, оскільки воно відіграє у квантовій фізиці таку ж роль, як рівняння Ньютона в класичній механіці.

Позначення в цьому рівнянні очевидні:  — це маса електрона, h — стала Планка

h, поділена на 2 * , Е — повна енергія електрона в атомі,— його потенційна енергія, х — відстань від ядра до електрона,  — символ другої похідної від функції (її називають хвильовою функцією), через що рівняння Шредінгера є не простим, а диференціальним.

Найскладніше — зрозуміти, що собою являє  — функція (псі-функція, чи хвильова функція): слід зауважити, що спочатку сам Шредінгер витлумачив її невірно. Ми також зрозуміємо це трохи пізніше, а поки просто повіримо в те, що хвильова функція "якось" описує рух електрона в атомі.

Зауважимо, що рівняння Шредінгера схоже на відоме в класичній фізиці рівняна ня коливань неоднорідної струни, яке описує коливання струни з усілякими вантажами й потовщеннями на ній. Таким чином, формальне рівняння Шредінгера нічим не відрізняється від рівняння навантаженої струни, але зміст їхніх вирішень, звичайно, різний. Уся його складність полягає у поняттях, які ми пов'язуємо з величинами, що задовільняють це рівняння.

Рівняння, яке склав Шредінгер для описування хвильових властивостей частинок, насамперед було "випробуване" на атомі водню. Нагадаємо, що перший постулат Бора, удаючись до деяких "зусиль волі", наказував електронам рухатися тільки по тих орбітах в атомі, які задовільняють квантову умову:. Це був плідний, але неприродний для фізики принцип, і тому він викликав у сучасників суміш замилування й невдоволення.

У результаті розв'язання рівняння Шредінгера для електрона в атомі водню виявилося, що електрон може мати не будь-які, а дискретні значення енергії, які відповідають його стаціонарним станам. Ці значення повністю збігалися з енергією електрона на стаціонарних орбітах в атомі Бора, і тому потреба в постулатах Бора відпадає — при збереженні всіх позитивних результатів його моделі.

У свій час ці наслідки теорії Шредінгера підкорили багатьох своєю простотою і природністю. У рівняння Шредінгера повірили і почали з'ясовувати останнє: що являє собою сама хвильова функція Якщо результат розв'язання рівняння струни, яка коливається, дає її "миттєві фотографії" — форму струни в різні моменти часу, то форму чого зображує - функція?

Для вирішення цього питання продовжимо обговорення хвильових властивостей мікрочастинок. Як показує досвід, можна спостерігати дифракцію електронів, коли пучок цих частинок відбивається від кристала. Однак з'ясовуючи принципові особливості поведінки частинок, немає необхідності вивчати це складне явище у всіх його деталях і подробицях. Можна зупинитися на дифракційних ґратах більш простого типу або навіть обмежитися дослідженням проходження електронів через один отвір у діафрагмі. На жаль, такий досвід не можна поставити насправді. Але якщо ми будемо, здійснюючи теоретичний аналіз деякої фізичної ситуації, виходити тільки із строго встановлених закономірностей, то наші висновки не розійдуться з істиною. Уявні експерименти широко застосовуються у фізиці. Як правило, вони являють собою дуже ідеалізовані схеми справжніх дослідів. Це дозволяє знехтувати несуттєвими моментами й зосередити увагу на головному — на тому, що потрібно вивчити в першу чергу.

Отже, припустимо, що пучок частинок потрапляє на діафрагму з маленьким круглим отвором посередині. Для визначеності будемо говорити про електрони. За діафрагмою і паралельно до неї поставимо екран. Взявши за основу гіпотезу де Бройля, можна передбачити, що відбудеться, якщо електрони пройдуть через отвір. Припустимо, що розміри отвору порівнянні з довжиною хвилі де Бройля. Тоді буде спостерігатися дифракція хвиль. Якщо замість екрана встановити фотопластинку, то, витримавши потрібний для експозиції час, ми одержимо дифракційну картину у вигляді темної круглої центральної плями й блідих концентричних кілець навколо неї. Реальні досліди з дифракції електронів при проходженні через тонку полі кристалічну фольгу дають схожу дифракційну картину. У цьому виявляється хвильова природа електрона.

Порушимо питання: чи має хвильові властивості окрема частинка, чи тільки весь пучок у цілому?

Більшість фізиків із самого початку вважали, що хвильові властивості має кожен окремо взятий електрон. Це підтвердив прямий експеримент, який здійснили в 1949 році Л. М. Біберман, П. П. Сушкін і В. О. Фабрикант. Учені спостерігали проходження електронів через кристал, який відігравав роль дифракційних ґрат. Частинки проходили через установку по черзі через певний інтервал часу.

Після тривалої експозиції було отримано таку ж дифракційну картину, як і в тому випадку, коли багато електронів проходили одночасно через кристал.

Закономірним буде наступне питання: чи створює кожен електрон дифракційну картину чи він створює почорніння тільки в одній точці фотопластинки?

Макроскопічна електромагнітна хвиля, наприклад, дифрагуючи на отворі, розділяється на ряд пучків, що йдуть у різних напрямках і відповідають максимумам дифракційної картини. Енергія хвилі дробиться на кілька частин. Що ж відбувається з окремою мікрочастинкою?

Якщо електрон — хвиля, то він повинен за аналогічної ситуації розділитися на частини, але якщо електрон — частинка, що зберігає свою цілісність при проходженні отвору, то розділитися на частини він не може. Взаємодія з діафрагмою може змінити напрямок його руху, але після проходження отвору електрон потрапляє в одну конкретну точку екрана.

Відповідь повинен дати реальний експеримент: потрібно, щоб екран являв собою сукупність детекторів, які вловлюють окремі частинки і вимірюють їхні маси й заряди. Такі досліди технічно можливі і дають однозначний результат: закінчуючи рух, кожна частинка потрапляє у визначену точку екрана. Тому й у нашому уявному експерименті, де розглядалося проходження частинок через отвір у діафрагмі, кожен окремий електрон буде спричинювати почорніння фотопластинки на невеликій ділянці.

Одна частинка не створює дифракційної картини. Усю картину можна одержати тільки завдяки потраплянню на пластинку пучка частинок. Електрон не поділяється на частини і повністю зберігає свою цілісність, тобто заряд, масу й інші характеристики.

У цьому виявляються корпускулярні властивості мікрочастинок. У той же час очевидним є і виявлення хвильових властивостей. Електрон після проходження отвору ніколи не потрапить на екран у тому місці, де повинен бути мінімум дифракційної картини; він може виявитися тільки в точках екрана поблизу дифракційних максимумів. При цьому вказати, в якому саме конкретному напрямку полетить дана частинка, в яку точку екрана вона потрапить, заздалегідь не можна.

Якщо взяти багато частинок, то почорніння фотопластинки свідчить про таку закономірність: більша частина частинок потрапить в зону головного максимуму; кількість частинок, що припадають на інші максимуми, убуває в міру зростання