Ці результати, які ми обговорили, дуже нагадують події, що відбуваються в тирі. Незважаючи на бажання стрільця потрапити в центр мішені, ми ніколи не знаємо заздалегідь, в яке місце мішені потрапить кожна з куль. Після стрілянини отвори в мішені групуються в досить правильний овал, який дістав назву "еліпса розсіювання". Його форма залежить від багатьох причин.

Щоб усі кулі потрапили в ту саму точку мішені, вони повинні мати в момент вильоту однакові координати  і швидкості  (чи імпульси ). Але це можливо тільки в тому випадку, якщо гвинтівка не тремтить, а заряд у всіх патронах абсолютно однаковий. Ні те, ні інше звичайно не досягається. Тому розподіл отворів від куль на мішені завжди підпорядковується законам випадку, і можна говорити тільки про ймовірність влучення в "десятку" чи "дев'ятку", але ніколи не можна бути впевненим заздалегідь.

Цю ймовірність можна виміряти. Якщо ми зробили 100 пострілів і ЗО разів потрапили в "десятку", 20 разів — у "дев'ятку" і т.д., то ймовірність влучення у відповідні ділянки мішені становить

Якщо ми візьмемо тепер точно таку ж мішень і знову зробимо 100 пострілів, то розташування отворів буде зовсім іншим, ніж на першій мішені, але кількість влучень у "десятку", "дев'ятку" і т.д. майже не зміниться. Звичайно, для гарного стрільця еліпс розсіювання буде маленьким, для поганого — великим, але для кожного окремого стрільця він залишиться незмінним.

Із цього простого прикладу видно, що "закони випадку" - не порожня гра слів. Звичайно, кожна куля потрапляє у випадкову точку мішені, яку не можна передбачити заздалегідь. Однак, коли йдеться про велику кількість пострілів, влучання утворюють настільки закономірну картину, що ми сприймаємо її як достовірну і зовсім забуваємо про ймовірність, що лежить в її основі.

Незвичні особливості законів випадку мають природне пояснення. Справді, постріл — дуже непростий процес. Ми не можемо або ж не вміємо вивчати його у всій складності й прагнемо довідатися тільки про кінцевий результат іспитів. Така зневага до деталей процесу не проходить даремно - тепер вірогідно ми можемо передбачити тільки усереднений результат численних однотипних іспитів, а для кожної окремої випадкової події ми спроможні вказати тільки ймовірний його результат.

Поширена хибна думка, що ймовірнісний опис руху менш повний, ніж строго причинний, класичний, з його поняттям траєкторії. З погляду класичної механіки, це саме так. Однак, якщо ми відмовимося від деяких її твердих вимог (наприклад, від знання початкових координат та імпульсів частинок), то класичний опис відразу стає недостатнім. На зміну йому приходить ймовірнісний опис, і в нових умовах він буде настільки ж вичерпним, оскільки повідомляє нам усі відомості про систему, які можна довідатися про неї за допомогою досліду.

Повернемося знову до пострілів по мішені в тирі і згадаємо причини, що змушують нас застосовувати теорію імовірності. Таких причин три:

· незалежність кожного наступного пострілу від попереднього;

· повна нерозрізненість окремих пострілів;

· випадковість результату будь-якого окремого пострілу, що виникає від незнання початкових умов кожного пострілу, тобто точної початкової координати і точного значення імпульсу кулі.

А тепер зазначимо, що всі три умови виконуються в атомних явищах і, зокрема, у дослідах із розсіювання електронів. Справді:

· електрон як частинка повинен розсіюватися незалежно від інших;

· електрони такі бідні на властивості (заряд, маса, спін — і це все!), що в квантовій механіці їх важко розрізнити, а разом з тим неможливо розрізнити й окремі акти розсіювання;

· і, нарешті, головне: точні значення координат та імпульсів не можна задати в принципі, оскільки ця заборона випливає із співвідношення невизначеностей Гейзенберга.

У таких умовах безглуздо визначати траєкторію кожного електрона. Замість цього ми повинні навчитися обчислювати ймовірність р(х) влучення електронів у певне місце х фотопластинки (чи, як прийнято говорити у фізиці, обчислювати функцію розподілу р(х).

Зв'язок між функцією розподілу ймовірності р(x) і хвильовими властивостями електрона, які описує -функція Шредінгера, встановив у 1926 році М. Борн. Він пильно стежив за розвитком теорії атома й квантових ідей Гейзенберга. У1926 році він зацікавився дослідами з дифракції електронів, результати яких можна було пояснити, спираючись на гіпотезу де Бройля про "хвилі матерії". Але що таке "хвиля матерії"? Наскільки матеріальні ці хвилі?

Логіку міркування М. Борна зручно пояснити за допомогою деякої аналогії. Усі квантово-оптичні ефекти переконують нас у тому, що світло - це потік дискретних частинок — фотонів, у яких локалізовані маса, імпульс та енергія випромінювання. Взаємодія фотонів з речовиною, коли світло проходить через яку-небудь оптичну систему (наприклад, дифракційні грати), призводить до перерозподілу фотонів у просторі й виникнення дифракційної картини на екрані, розташованому на шляху світла, що пройшло крізь систему. Очевидно, що освітленість екрана в різних точках пропорційна сумарним енергіям фотонів, що потрапляють у ці точки за одиницю часу, тобто освітленість пропорційна ймовірності влучення фотона в певну точку екрана. З іншого боку, вирішення цієї дифракційної задачі на основі уявлень про хвильову природу світла показує, що освітленість пропорційна квадрату амплітуди світлової хвилі в даній точці екрана. Зіставлення цих міркувань дозволяє зробити висновок: квадрат амплітуди світлової хвилі в якій-небудь точні простору є мірою імовірності влучення фотонів у цю точку.

Макс Борн стверджував: якщо мікрочастинки мають хвильові властивості, які можна описати за допомогою хвильової функції ( -функції), то імовірність р(х) виявити електрон у точці х дорівнює квадрату хвильової функції (х):

Тому "хвилі матерії" — це не звичайні матеріальні хвилі, як електромагнітні чи хвилі на поверхні моря, а хвилі особливі — це "хвилі ймовірності". Вони визначають імовірність розподілу частинок у просторі.

Ми не маємо права говорити про траєкторію електрона в атомі — її взагалі не існує. Але ми можемо говорити про ймовірність перебування електрона в тих чи інших точках, тобто схематично зобразити електрони в атомі у вигляді деякої електронної хмари, форма і щільність р(х) якої визначає хвильова функція (х).

Щоб пояснити цю думку, спробуємо уявити собі, наприклад, кавун і зобразити на малюнку його щільність р(x) залежно від відстані х від центра кавуна. Очевидно, що функція р(x) усередині кавуна скрізь приблизно однакова, трохи зменшується до країв (шкірка легша за м'якоть) і різко обривається на межі кавуна. Глянувши на малюнок, людина, яка жодного разу не бачила кавуна, може схематично уявити собі, який він усередині. Правда, при цьому вона не буде мати ні найменшого уявлення про його смак, колір та аромат, а також про тисячу інших дрібних ознак, що відрізняють один кавун від іншого.

Намагаючись проникнути всередину атома, ми завжди виявляємося в становищі людини, яка ніколи в житті кавуна не бачила, але хоче уявити його собі за функцією р(x). Для атома функцію р(х) можна обчислити з рівняння Шредінгера і потім з її допомогою намалювати форму електронної хмари в атомі. Саме ці картинки замінюють той зоровий образ атома, до якого всі несвідомо прагнуть.

Найпростіший атом — це атом водню. Власне кажучи, це єдиний атом, який фізик знає зараз у всіх деталях і може уявити собі його правдоподібний образ. У центрі атома розташоване дуже маленьке позитивне ядро, оточене негативною хмарою електронів.

Форма цієї хмари не довільна — її визначають закони квантової механіки. Незбудже-ний атом водню дуже схожий на кулю, але форма збуджених атомів уже відрізняється від сферичної, і тим більше, чим сильніше збуджений атом. Збуджуючи атом, ми витрачаємо енергію саме на перебудову його електронної хмари. Кожній формі хмари відповідає своя, цілком визначена енергія. Тому, щоб перевести атом з однієї форми в іншу, ми повинні затратити строго визначену порцію енергії — квант h-v, як того і вимагає другий постулат Бора.

Говорячи про форму тіл, ми, як правило, припускаємо, що в них є також і розміри. Це не завжди вірно: у більярдної кулі є і форма, і розміри, але про розміри хмари говорити вже важко, хоч її форма звичайно не викликає сумнівів. Найбільш несподіваний наслідок нової моделі атома полягає в тому, що атом не має визначених геометричних розмірів. Розмірів у тому розумінні, який ми вкладаємо в це поняття, маючи перед очима більярдну кулю. Звичайно, оскільки атом має певні обриси, можна виділити з нього ту його частину, у якій щільність електронної хмари максимальна, і назвати цю частину його розміром. Таке визначення правомірне, і ми його використовуємо (ми постійно говоримо про розміри атома), але при цьому варто пам'ятати, що визначити строго розміри атома не можна — це завжди питання розумної угоди.

Уже один цей наслідок квантової механіки дозволяє пояснити багато властивостей тіл, які ми спостерігаємо. Наприклад, різноманітність геометричних форм кристалів не повинна нас особливо дивувати: