НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ

НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ІМ. Б.І. ВЄРКІНА

КУЛАГІН Вячеслав Михайлович

УДК 517.987

ТРАЄКТОРНІ ВЛАСТИВОСТІ ГРУП ПСЕВДО-ГОМЕОМОРФІЗМІВ ПОЛЬСЬКИХ ПРОСТОРІВ

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків-2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Фізико-технічному інституті низьких температур

імені Б. І. Вєркіна НАН України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук

Голодець Валентин Якович,

Фізико-технічний інститут низьких

температур імені Б. І. Вєркіна НАН України,

провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Самойленко Юрій Стефанович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу функціонального аналізу;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Нессонов Микола Іванович,

Харківський державний університет

сільського господарства.

Провідна установа:

Харківський національний університет ім. В.Н.Каразіна, механіко-математичний факультет.

Захист відбудеться 25.12.2001 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур імені Б. І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47,

к. 216.

З дисертацією можно ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур імені Б. І. Вєркіна НАН України, м. Харків,

пр. Леніна, 47.

Автореферат розісланий 22.11.2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.О.Горькавий

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Матеріал дисертації відноситься до теорії топологічних динамічних систем. У 1986 році відомими спеціалістами у галузі динамічних систем Д.Сулліваном, Б.Вейссом та Дж. Райтом було запропоновано вивчати групи гомеоморфізмів польського (тобто повного метричного сепарабельного) простору з точністю до множин першої категорії (за аналогією з множинами міри нуль). Цей напрямок в теорії динамічних систем отримав назву динаміки загального положення. Виявилось, що при такому підході вдається отримати дуже цікаві та важливі результати. Зокрема, у роботі Суллівана, Вейсса, Райта було доведено, що кожна ергодична дія зчисленної групи гомеоморфізмів польського досконалого простору траєкторно еквівалентна канонічній ергодичній дії групи цілих чисел. У метричній ергодичній теорії, де об'єктом дослідження є групи перетворень простору з мірою, подібний факт має місце тільки для класу аменабельних груп. На цей час метрична траєкторна теорія вже стала широкою областю динамічних систем, завдяки відомим роботам Г.Дая, Г.Маккі, В.Крігера, А.Кона, Б.Вейсса, Я.Фельдмана, Р.Зіммера, В.Голодця, С.Безуглого, С.Синельщикова, О.Даниленко та інших. У свою чергу в топологічній динаміці, яка є більш складною, існує декілька різноманітних підходів навіть до постановки питань. Крім вишезгаданого підхіду тут необхідно відзначити роботи Крігера у зв'язку з топологічними марківськими ланцюгами, роботи К.Скау, Я.Патнама та Т.Джордано з траєкторній класифікації канторовських мінімальних систем, роботи М.Бойля і Д.Хендельмана, роботи Е.Глазнера та Б.Вейсса. Не зважаючи на це, численні важливі питання, які вже стали класичними у метричній теорії, залишаються не дослідженими у топологічному варіанті. Серед них вивчення коциклів динамічних систем (Маккі, Крігер, Зіммер, Голодець, Синельщиков), задача зовнішньої спряженості (Кон, Крігер, Голодець, Безуглий, Синельщиков, Даниленко), теорія підвідношень відношень еквівалентності, породжених динамічними системами (Фельдман, Зіммер, Сазерленд, Даниленко) та інши. Дисертаційна робота присвячена дослідженню саме таких проблем з точки зору динаміки загального положення. Крім того, вирішується задача про траєкторну структуру неергодичних зчисленних груп псевдо-гомеоморфізмів.

Зв'язок теми з науковими програмами. Роботу виконано в межах тематичного плану ФТІНТ НАН України за темою 1.4.10.22.6 ''Алгебраїчні та геометричні методи в теорії операторів та теорії динамічних систем'' (№ державної реєстрації 0196U002943).

Мета і задачі дослідження: –

Опис класів траєкторної еквівалентності неергодичних зчисленних груп псевдо-гомеоморфізмів польського досконалого простору.–

Опис коциклів зчисленних груп псевдо-гомеоморфізмів з точністю до слабкої еквівалентності.–

Знаходження інваріантів зовнішньої спряженості груп псевдо-гомеоморфізмів із нормалізатора повної групи.–

Класифікація підвідношень відношень еквівалентності, породжених зчисленними групами псевдо-гомеоморфізмів.

Наукова новизна. Усі результати дисертації є новими.

Практичне та теоретичне значення. Робота носить теоретичний характер. Результати роботи можуть бути використані для подальших досліджень у теорії топологічних динамічних систем, у дескриптивній динаміці, у теорії операторних алгебр. До числа організацій, які можуть бути зацікавленими результатами дисертації входять Інститут математики НАН України (м.Київ), Харківський національний університет, Фізико-технічний інститут низьких температур НАН України ім. Б.І. Вєркіна.

Особистий внесок здобувача. Тема дослідження та постановки задач належать науковому керівнику Голодцю В.Я. та Синельщикову С.Д. Усі результати одержані особисто.

Апробація роботи. Результати дисертаційної роботи доповідались на Міжнародній конференції "Dynamical Systems and Ergodic Theory" (Кацивелі, Україна, серпень 2000 р.), та на семінарі з ергодичної теорії та теорії операторних алгебр (ФТІНТ, Харків; керівник семінару В.Я. Голодець).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано статті [1-3].

Об'єм і структура дисертації. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 75 найменувань. Обсяг дисертації 106 сторінок, обсяг списку використаних джерел 6 сторінок.

Автор щиро дякує своєму науковому керівнику Валентину Яковичу Голодцю за постановки задач та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

В Розділі 1 нагадуються основні необхідні поняття та наводяться результати допоміжного характеру. Почнемо з необхідних визначень. Польськім простором називається повний сепарабельній метричний простір. Далі усюди X – польський досконалий простір. Усі об'єкти у динаміці загального положення (простори, відображення, автоморфізми, відношення еквівалентності) розглядаються з точністю до зміни на множинах першої категорії, якщо це не обговорено додатково.

Визначення 1.1: Борелівська бієкція простору називається псевдо-гомеоморфізмом, якщо є множиною першої категорії тоді й тільки тоді, коли – множина першої категорії.

Кожен гомеоморфізм є псевдо-гомеоморфізмом. Якщо – псевдо-гомеоморфізм, то існує щільна -множина , така що є гомеоморфізмом . З точністю до множин першої категорії вивчення зчисленних груп псевдо-гомеоморфізмів зводиться до вивчення зчисленних груп гомеоморфізмів.

Якщо – відношення еквівалентності на , , то через позначається його насичення: для деякого .

Визначення 1.2: Відношення еквівалентності , породжене дією зчисленної групи псевдо-гомеоморфізмів простору називається зчисленним відношенням еквівалентності загального положення на просторі : для деякого .

Множина Int – псевдо-гомеоморфізм , такий що для всіх } називається повною групою. Множина Aut – псевдо-гомеоморфізм , такий що для усіх } називається нормалізатором повної групи.

Визначення 1.3: Зчисленні групи гомеоморфізмів та просторів та відповідно називаються траєкторно еквівалентними, якщо існують щільні -підмножини , , причому – -інваріантно, а – -інваріантно, та існує гомеоморфізм , такі що для всіх , та для всіх .

Якщо та траєкторно еквівалентні, то відношення та ізоморфні ().

Визначення 1.4: Група гомеоморфізмів простору Бера з другою аксіомою зчисленності називається ергодичною, якщо існує точка , така що її орбіта щільна в . Це еквівалентно тому, що кожна -інваріантна підмножина із властивостю Бера є або множиною першої категорії, або доповненням до множини першої категорії.

Теорема 1.5: (Сулліван, Вейсс, Райт) Будь-які дві ергодичні зчисленні групи гомеоморфізмів польського досконалого простору траєкторно еквівалентні.

Розділ 2 містить результати про ергодичне розкладання у динаміці загального положення та опис класів траєкторної еквівалентності неергодичних дій зчисленних груп гомеоморфізмів польського досконалого простору. Ергодичне розкладання є необхідним апаратом для вивчення властивостей неергодичних груп перетворень. На відміну від ситуації у метричній теорії, це досить не досліджене поняття у топологічній динаміці. Підрозділ 2.1 присвячений вивченню саме його. Нехай – відношення еквівалентності, породжене довільною групою гомеоморфізмів простору . Розбиваюче відношення еквівалентності для відношення визначається наступним чином: . Тоді , а кожен клас еквівалентності є -підмножиною в (а отже, польським простором ). Дія групи на кожному ергодична, тому класи -еквівалентності кваліфікуються як ергодичні компоненти дії . Далі вивчаються властивості топологічного фактор-простору , який називається простором ергодичного розкладання системи у динаміці загального положення. Показано, що це -простір Бера із другою аксіомою зчисленності, причому борелівська структура, породжена топологією стандартна. Крім того, викидання як множини першої категорії з , так і -інваріантної множини першої категорії із X не змінює, у суттєвому, ні динамічну систему, ні фактор-простор відповідно. Наступна теорема говорить про те, що, з точністю до множини першої категорії, існує підмножина в , яка грає роль польського фактор-простору ергодичного розкладання.

Теорема 2.1: Нехай – група гомеоморфізмів польського досконалого простору , – розбиваюче відношення еквівалентності. Тоді існують: щільна -інваріантна -підмножина ' і замкнена в ' трансверсаль відношення еквівалентності , причому селектор '– неперервне та відкрите відображення, де береться з відносною топологією.

У підрозділі 2.2 одержано повний опис класів траєкторної еквівалентності неергодичних зчисленних груп гомеоморфізмів польського досконалого простору.

Пропозиція 2.2: Нехай – зчисленна група гомеоморфізмів польського досконалого простору , – розбиваюче відношення еквівалентності, побудоване за дією групи , – замкнена -трансверсаль в , яка є досконалою як топологічний простір. Тоді існують: щільна -інваріантна -множина та розбиття простору на дві відкрите-замкнені -інваріантні підмножини , причому в усі -орбіти являють собою польські досконалі простори, а на (отже усі -орбіти дискретні).

Простір називається дискретною частиною розкладання, а – чисто неперервною. Таким чином, якщо у дії групи відсутні ергодичні компоненти другої категорії, задача опису розбивається на дві: випадок дії дискретного типу та випадок дії чисто неперервного типу. Далі ми класифікуємо їх окремо (теореми 2.3 та 2.4 відповідно). Суттеву роль тут грає теорема 2.1. Якщо дія групи має ергодичні компоненти другої категорії, то їх кількість не більш ніж зчисленна, тому цей випадок зводиться до випадку ергодичної дії (див. Теорема 1.5) та розглянутих нами двох випадків.

Теорема 2.3: Нехай – зчисленне відношення еквівалентності загального положення дискретного типу на польському досконалому просторі . Тоді, з точністю до множини першої категорії, можна представити у вигляді: N, де кожен – або польський досконалий простір, або пуста множина, причому для деякого N і , , де , .

Під дією групи N Z2 на просторі вигляду N розуміємо пошарову дію: , де N Z2 , N, а N Z2 діє на N природнім чином.

Теорема 2.4: Нехай – зчисленна група гомеоморфізмів чисто неперервного типу. Тоді існують: щільна -інваріантна -підмножина , польський досконалий простір та гомеоморфізм , де – щільна -підмножина в N, що є інваріантною відносно пошарової дії групи N Z2 на , причому дії груп та N Z2 міцно траєкторно еквівалентні на .

Розділ 3 присвячений вивченню коциклів зчисленних груп псевдо-гомеоморфізмів польського досконалого простору зі значеннями у польських групах. Усюди в роботі розглядуються орбітальні коцикли, тобто коцикли, які визначені на відношенні еквівалентності, породженим дією групи.

Визначення 3.1: Нехай – зчисленне відношення еквівалентності загального положення на , – польська група. Борелівське відображення називається коциклом відношення еквівалентності зі значеннями у польській групі G (), якщо рівність виконано для всіх , де Y – деяка щільна R-інваріантна -підмножина в X.

Два коцикли когомологічні (), якщо існує борелівська функція , така що для усіх , з точністю до множини першої категорії.

У підрозділі 3.1 визначаються та вивчаються основні поняття і конструкції, що пов'язані із коциклами в динаміці загального положення.

Нехай , де G – польська група, а відношення є породженим зчисленною групою гомеоморфізмів X. Косим добутком називається дія групи на просторі , яка визначається наступним чином: , та позначається через . є дією псевдо-гомеоморфізмами.

Однією з основних задач у вивченні коциклів є класифікація їх з точністю до слабкої еквівалентності:

Визначення 3.3: Коцикли називаються слабко еквівалентними, якщо існує Aut , такий що .

Якщо коцикли слабко еквівалентні, то відповідні косі добуткі та траєкторно еквівалентні.

Далі вводиться дуже важливе поняття топологічної дії Маккі. У вимірній ергодичній теорії це поняття вперше з'явилось у неявній формі в знаменитій роботі Амброза та Какутані про спеціальне представлення потоків. Пізніше Маккі визначив цю дію у більш загальній ситуації – для коциклів вимірних груп перетворень зі значеннями в локально-компактних групах у зв'язку з теорією віртуальних підгруп. Крігер звів задачу траєкторної еквівалентності автоморфізмів простору Лебега з квазіінваріантною мірою до задачі ізоморфізма потоків Пуанкаре, а поток Пуанкаре є, насправді, дією Маккі, асоційованою з коциклом Радона-Нікодіма динамічної системи. Нарешті Голодець та Синельщиков здійснили класифікацію коциклів аменабельних ергодичніх вимірних відношень еквівалентності зі значеннями в локально-компактних групах в термінах дії Маккі. Ми визначаємо топологічну дію Маккі для коциклів відношень еквівалентності загального положення зі значеннями у довільній польській групі.

Нехай . Нехай позначає наступну дію групи на просторі : . Нехай – відношення еквівалентнсті, породжене косим добутком , – розбиваюче відношення еквівалентності для , , а – фактор-відображення. Дія групи на фактор-просторі ергодичного розкладання системи (), яка визначається наступним чином:

, де , ,

називається топологічною дією Маккі, асоційованою з коциклом . Перевіряється, що ця дія є неперервною. Таким чином, дія Маккі це неперервна дія польської групи на топологічному -просторі Бера із другою аксіомою зчисленності. З вимірної ж точки зору це борелівська дія польської групи на стандартному борелівському просторі, що дуже важливе для вивчення властивостей орбіт та стабілізаторів цієї дії. Зокрема, кожна орбіта є борелівською підмножиною в , і кожен стабілізатор є замкненою підмножиною у G. Відзначимо також, що дія Маккі коректно визначена з точки зору динаміки загального положення, тобто викидання (-інваріантної) множини першої категорії не змінює, у суттєвому, її. Надзвичайна важливість дії Маккі складається в тому, що вона є інваріантом слабкої еквівалентності коциклів:

Пропозиція 3.4: Якщо коцикли слабко еквівалентні, то асоційовані дії Маккі та ізоморфні з точністю до множини першої категорії.

Дія Маккі ергодична тоді й тільки тоді, коли відношення R є ергодичним. Далі усюди припускаємо, що R – ергодичне.

У випадку зчисленної групи G, можна викидати із довільні множини першої категорії. Отже, беручи до уваги результати розділа 1, отримаємо, що дія Маккі зчисленної групи є дією на польському просторі.

Підрозділ 3.2 містить результат про представлення довільної ергодичної дії зчисленної групи у вигляді дії Маккі, що асоційована с деяким коциклом ергодичного відношення еквівалентності:

Теорема 3.5: Нехай G – зчисленна ергодична група гомеоморфізмів польського досконалого простору Y. Тоді існує коцикл , де R – зчисленне ергодичне відношення еквівалентності загального положення, для якого асоційована дія Маккі ізоморфна дії G на Y.

У Підрозділі 3.3 розглянуто спеціальний клас коциклів – транзитних. Транзитність коцикла еквівалентна тому, що косий добуток, побудований за ним є дією дискретного типу. Дія Маккі транзитного коцикла завжди вільна. Для транзитних коциклів зі значеннями у довільній зчисленній групі вдається отримати повну класифікацію у термінах дії Маккі:

Теорема 3.6: Нехай R – ергодичне відношення еквівалентності загального положення на польському досконалому просторі, G – зчисленна група. Два транзитні коцикли ,слабко еквівалентні тоді й тільки тоді, коли відповідні дії Маккі та ізоморфні (з точністю до множини першої категорії).

Підрозділ 3.4 присвячений вивченню найважливішого класу коциклів – ергодичних. Тут ми отримаємо один з найвагоміших результатів роботи – теорему єдиності (3.8) для ергодичних коциклів зі значеннями у довільній польській групі.

Визначення 3.7: Нехай G – польська група. Коцикл називається ергодичним, якщо косий добуток є ергодичним на .

Дія Маккі, асоційована з ергодичним коциклом, є тривіальною дією на одноточковому просторі. За допомогою методів підрозділа 3.2 можна довести існування ергодичного коцикла зі значеннями у довільній польській групі.

Теорема 3.8 : Нехай R – ергодичне відношення еквівалентності загального положення на польському досконалому просторі , G – польська група. Будь-які два ергодичні коцикли ,слабко еквівалентні, тобто існують: щільна -інваріантна -множина , Aut і борелівська функція , такі що – гомеоморфізм і

для всіх .

У Підрозділі 3.5 розв'язано задачу зовнішньої спряженості зчи-с-лен-них під-груп го-мео-мо-р-фі-з-мів із но-р-ма-лі-за-то-ра по-вної гру-пи. Як-що тра-є-к-то-р-на кла-си-фі-ка-ція дає кла-си-фі-ка-цію від-но-шень еквівалентності загального положення, то задача про зовнішню спряженість – це “відносна класифікація”, тобто класифікація відносно групи псевдо-гомеоморфізмів, що зберігають таке відношення. Для її рішення ми застосовуємо коцикли, а ви-рі-ша-ль-ну роль грає те-о-ре-ма 3.8 єди-но-сті для ер-го-ди-ч-них ко-ци-к-лів.

Визначення 3.9: Нехай – зчисленне відношення еквівалентності загального положення на X, – дії зчисленної групи G гомеоморфізмами на X, такі що Aut для усіх . Дії називаються зовнішньо спряженими, якщо існують: Y – щільна -інваріантна -підмножина в X,та – гомеоморфізм Y, такі що Aut, і для усіх виконано рівність:

, де Int.

Теорема 3.10: Нехай R – зчисленне ергодичне відношення еквівалентності загального положення на X. Дії зчисленної групи G, такі що Aut для всіх є зовнішньо спряженими тоді й тільки тоді, коли

IntInt.

Підрозділ 3.6 присвячений вивченню регулярних коциклів.

Визначення 3.11: Коцикл , де G – польська група, називається регулярним, якщо він когомологічний до ергодичного коцикла зі значеннями у замкненій підгрупі (). Група називається визначальною для .

Доводиться, що регулярність коцикла еквівалентна (суттєвій) транзитивності дії Маккі , яка асоційована з , тобто, після викидання -інваріантної множини першої категорії, представляє собою дію на однородному просторі , де – замкнена підгрупа в . Далі, використовуючи цей факт та теорему єдиності для ергодичних коциклів, отримаємо наступну

Теорема 3.12: Нехай – зчисленне ергодичне відношення еквівалентності загального положення, – польська група. Регулярні коцикли слабко еквівалентні тоді й тільки тоді, коли їх визначальні підгрупи є спряженими у .

Далі показано, як приклад, що кожен коцикл зі значеннями у довільній компактній польській групі є регулярним.

У Розділі 4 ми розвиваємо теорію підвідношень зчисленних відношень еквівалентності загального положення, яка є топологічним варіантом теорії вимірних підвідношень, запропонованої Фельдманом, Зіммером та Сазерлендом у їх добре відомій роботі. Після того, як отримано класифікацію зчисленних відношень еквівалентності загального положення, природно виникає питання про “відносну” класифікацію. Крім розглянутої в підрозділі 3.5 задачі зовнішньої спряженості, задачею такого типу є опис підвідношень відношення еквівалентності з точністю до автоморфізмів самого відношення.

На протязі всього розділу – зчисленне ергодичне відношення еквівалентності загального положення на . Нехай – підвідношення еквівалентності загального положення. Ми вводимо поняття індексу, функцій вибору, та індексного коцикла для такої пари. Індекс завжди належить множині N, а функції вибору являють собою набір борелівських відображень простору , де , якщо <, і , якщо , таких що – розбиття для усіх . Індексний коцикл , де – група підстановок на множині , визначається наступним чином: , якщо . Підвідношення еквівалентності загального положення називаються -спряженими, якщо існує Aut, такий що . Індекс пари є інваріантом -спряженості. Виявляється, що ергодичні підвідношення є -спряженими (відповідно спряженими відносно Int) тоді й тільки тоді, коли їх індексні коцикли слабко еквівалентні (відповідно когомологічні). Далі в підрозділі 4.1 ми вводимо поняття нормальності пари , яке є топологічним аналогом нормальності пари вимірних відношень еквівалентності у розумінні Фельдмана-Зіммера-Сазерленда, та класифікуємо нормальні ергодичні підвідношення:

Теорема 4.1: Нехай – зчисленне ергодичне відношення еквівалентності загального положення на польському досконалому просторі . Тоді для кожної зчисленної групи існує єдине, з точністю до -спряження, нормальне ергодичне підвідношення , таке що група ізоморфна . Якщо підвідношення є -спряженим до , то ізоморфна . Крім того, існує дія групи на , така що Aut, і яка разом з породжує .

Суттєву роль у доведенні цієї теореми грає теорема 3.8 єдиності для ергодичних коциклів.

Підрозділ 4.2 присвячений вивченню підвідношень відношень еквівалентності загального положення скінченого індексу. Спочатку ми показуємо, як зробити опис таких неергодичних підвідношень, якщо відома класифікація ергодичних підвідношень скінченого індексу. Класифікацію ж останніх отримаємо у наступній теоремі:

Теорема 4.2: Існує бієктивна відповідність між класами -спряженості ергодичних підвідношень відношення скінченого індексу та класами спряженості транзитивних підгруп групи .

У доведенні цієї теореми значну роль грає теорема 3.12 про регулярні коцикли.

Переходячи до загального випадку введемо наступне поняття. Нехай – розбиття скінченої множини , , , – довжина розбиття, та нехай – таке сімейство груп, що – транзитивна підгрупа в . Позначимо через – множину усіх таких сімейств (для всіх розбиттів ). Назвемо два таких сімейства і еквівалентними, якщо розбиття та збігаються, як неупорядковані, та існує бієкція , така що , і група є спряженою до в для всіх .

Наслідок 4.3: Існує бієктивна відповідність між класами -спряженості підвідношень відношення скінченого індексу та класами еквівалентності сімейств груп з .

ВИСНОВКИ:

1. Одержано повний опис класів траєкторної еквівалентності зчисленних неергодичних груп псевдо-гомеоморфізмів польського досконалого простору.

2. Отримано теорему єдиності для ергодичних коциклів: доведено, що будь-які два ергодичні коцикли зчисленної групи псевдо-гомеоморфізмів польського досконалого простору зі значеннями у довільній польській групі слабко еквівалентні.

3. Вирішено задачу зовнішньої спряженості для груп псевдо-гомеоморфізмів: знайдено повну систему інваріантів зовнішнього спряження дій зчисленної групи елементами нормалізатора повної групи.

4. Визначено поняття топологічної дії Маккі, асоційованої з коциклом зчисленної групи псевдо-гомеоморфізмів польського досконалого простору, яка є інваріантом слабкої еквівалентності коциклів. За його допомогою отримано класифікацію, з точністю до слабкої еквівалентності, регулярних коциклів зі значеннями у довільній польській групі та транзитних коциклів зі значеннями у довільній зчисленній групі. Крім того, доведено, що кожна зчисленна ергодична група гомеоморфізмів польського простору може бути представленою як дія Маккі, асоційована до деякого коцикла зчисленної ергодичної групи псевдо-гомеоморфізмів.

5. Розвинуто теорію підвідношень відношень еквівалентності загального положення. Класифіковані нормальні ергодичні підвідношення та підвідношення скінченого індексу зчисленного ергодичного відношення еквівалентності загального положення.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Golodets V.Ya., Kulagin V.M., Sinel'shchikov S.D. Orbit properties of pseudo-homeomorphism groups of a perfect Polish space and their cocycles. // London Math. Soc. Lecture Note Series – 2000. – 277 – “Descriptive Set Theory and Dynamical Systems” – Cambridge Univ. Press, Cambridge. P. 211–229.

2. Кулагин В.М. Структура коциклов групп псевдогомеоморфизмов, // Математическая физика, анализ, геометрия. – 2000. – 7 (№2) – С. 209–218.

3. Голодець В.Я., Кулагiн В.М., Синельщиков С.Д. Коцикли та пiдвiдношення вiдношень еквiвалентностi загального положення. // Доповiдi НАН Украіни. – 2001. – 7 – С. 13–16.

АНОТАЦІЇ

Кулагін В.М. Траєкторні властивості груп псевдо-гомеоморфізмів польських просторів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Фізико-технічний інститут низьких температур НАН Украіни, Харків, 2001.

Дисертація присвячена питанням траєкторної теорії динамічних систем, що складаються з груп псевдо-гомеоморфізмів польського простору. Вивчення таких систем здійснюється з точністю до множин першої категорії. Одержано повний опис класів траєкторної еквівалентності зчисленних неергодичних груп псевдо-гомеоморфізмів польського досконалого простору. Доведено, що будь-які два ергодичні коцикли зчисленної групи псевдо-гомеоморфізмів польського досконалого простору зі значеннями у довільній польській групі слабко еквівалентні. Введено поняття топологічної дії Маккі, асоційованої до коцикла зі значеннями у польській групі. Отримано класифікацію регулярних коциклів зі значеннями у довільній польській групі, та транзитних коциклів зі значеннями у довільній зчисленній групі. Доведено, що будь-яка ергодична дія зчисленної групи гомеоморфізмами на польському просторі є дією Маккі, асоційованою до деякого коцикла ергодичної групи. Знайдена повна система інваріантів зовнішньої спряженості дій зчисленної групи елементами нормалізатора повної групи. Отримано класифікацію нормальних ергодичних підвідношень та підвідношень скінченого індексу зчисленного ергодичного відношення еквівалентності загального положення.

Ключові слова: динаміка загального положення, псевдо-гомеоморфізм, ергодичність, траєкторна еквівалентність, відношення еквівалентності, коцикл, дія Маккі.

Кулагин В.М. Траекторные свойства групп псевдо-гомеоморфизмов польских пространств. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Физико-технический институт низких температур НАН Украины, Харьков, 2001.

Диссертация относится к теории топологических динамических систем. Изучаются группы гомеоморфизмов польского (то есть полного сепарабельного метрического) пространства, с точностью до топологически пренебрежимых множеств – множеств первой категории. Такой подход определили в своей известной работе Д.Сулливан, Б.Вейсс и Дж.Райт и назвали динамикой общего положения. Они доказали, что, с точностью до множеств первой категории, любые две такие счетные эргодические группы польского совершенного пространства траекторно эквивалентны.

В диссертационной работе изучено эргодическое разложение для групп гомеоморфизмов польского совершенного пространства с точки зрения динамики общего положения. Получено полное описание классов траекторной эквивалентности неэргодических счетных групп псевдо-гомеоморфизмов польского совершенного пространства.

Пусть – счетное отношение эквивалентности общего положения на польском совершенном пространстве , то есть отношение эквивалентности, порожденное счетной группой псевдо-гомеоморфизмов пространства . Рассматриваются (борелевские) коциклы таких отношений эквивалентности со значениями в польских группах. Доказано, что любые два эргодических коцикла и со значениями в произвольной польской группе слабо эквивалентны, то есть когомологичен с точностью до автоморфизма отношения . Вводится понятие топологического действия Макки, ассоциированного с коциклом. Для коцикла эргодического отношения эквивалентности со значениями в польской группе , действие Макки представляет собой непрерывное эргодическое действие группы на -пространстве Бэра со второй аксиомой счетности. Если – счетна, то это действие на польском пространстве. Действие Макки является инвариантом слабой эквивалентности коциклов. Рассмотрены регулярные коциклы (коцикл эргодического отношения эквивалентности со значениями в группе регулярен, если он когомологичен эргодическому коциклу со значениями в замкнутой подгруппе группы ). Действие Макки использовано для получения классификации, с точностью до слабой эквивалентности, регулярных коциклов эргодического отношения эквивалентности со значениями в произвольной польской группе. Доказано, что два транзитных коцикла эргодического отношения эквивалентности со значениями в произвольной счетной группе слабо эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие действия Макки изоморфны. Доказано, что произвольная счетная эргодическая группа гомеоморфизмов польского пространства может быть представлена в виде действия Макки, ассоциированного с некоторым коциклом эргодического отношения эквивалентности. Для действий произвольной счетной группы элементами нормализатора Aut полной группы Int, где – счетное эргодическое отношение эквивалентности общего положения, найдена полная система инвариантов внешнего сопряжения (то есть сопряжения относительно Aut).

Изучаются подотношения счетных отношений эквивалентности общего положения. В измеримой динамике теория подотношений была развита Я.Фельдманом, Р.Зиммером и К.Сазерлендом. Рассмотрена задача о сопряженности подотношений эргодического отношения эквивалентности , относительно автоморфизмов (-сопряженность). Вводится понятие нормальности для подотношения эргодического отношения эквивалентности, которое является топологическим аналогом нормальности в смысле Фельдмана-Зиммера-Сазерленда. Получена классификация нормальных эргодических подотношений, а также подотношений конечного индекса счетного эргодического отношения эквивалентности общего положения , с точностью до -сопряженности.

Ключевые слова: динамика общего положения, псевдо-гомеоморфизм, эргодичность, траекторная эквивалентность, отношение эквивалентности, коцикл, действие Макки.

Kulagin V.M. Orbit properties of pseudo-homeomorphism groups of Polish spaces. – Manuscript.

Thesis for a candidat's degree by speciality 01.01.01 – mathematical analysis. – Institute for Low Temperature Physics and Engineering National Academy of Sciences, Kharkiv, 2001.

The dissertation is devoted to the problems of orbit theory of dynamical systems consisting of pseudo-homeomorphism groups of a Polish space. Such systems are considered modulo meager sets. A complete description of orbit equivalence classes of countable nonergodic pseudo-homeomorphism groups of a perfect Polish space is obtained. It is proved that any two ergodic cocycles of countable pseudo-homeomorphism groups of a perfect Polish space with values in an arbitrary Polish group are weakly equivalent. It is introduced the notion of topological Mackey action, associated with a cocycle with values in a Polish group. Classifications of regular cocycles with values in Polish groups and of transient cocycles with values in countable groups, up to weak equivalence, are obtained. It is proved that any ergodic action of a countable group by homeomorphisms of a Polish space is the Mackey action associated with some cocycle of an ergodic group. A complete system of invariants for outer conjugacy of countable groups of the normalizer of a full group is found. Normal ergodic subrelations and finite index subrelations of an ergodic countable generic equivalence relations are classified.

Key words: generic dynamics, pseudo-homeomorphism, ergodicity, orbit equivalence, equivalence relation, cocycle, Mackey action.