Пошукова робота на тему:

Маса лінії. Координати центра ваги плоскої кривої та фігури Приклади застосування означеного інтеграла до розв’язування простих задач механіки, фізики та інших областей. Деякі застосування в економіці.

План

Маса плоскої лінії

Статичні моменти і центр ваги

Обчислення моментів інерції

Обчислення роботи

Деякі задачі прикладного характеру

1. Застосування інтегрального числення у фізиці,

механіці, техніці

1.1. Маса плоскої лінії           

У класичній механіці матеріальні тіла часто зображують як просторову область що заповнена без прогалин речовиною. Якщо відома маса    тіла і об’єм тієї області яку вона заповнює, то відношення маси  до  називається середньою густиною . Часто доводиться мати справу з тілами, в яких густина  в околі різних точок різна. Тоді густина буде функцією точки що належить області , тобто . Якщо розглянути нескінченно малу область  , що оточує точку , об’єм якої дорівнює , маса – , то . Звідки

.

У випадку, коли  є функцією лише однієї змінної, наприклад , а саме цей випадок тут і розглядатиметься), то                                    

,                             .13)   

де .

Якщо розглядати матеріальну плоску криву   з лінійною густиною розподілу мас  то маса елементарного кусочка кривої буде звідки одержимо формулу для обчислення маси кривої                                            

.14)

1.2. Статичні моменти і центр ваги

Визначення. Статичним моментом  матеріальної точки маси  відносно осі (площини) називається добуток маси точки на її відстань  

від осі (площини) :.

Про статичний момент відносно осі говорять лише тоді, коли система матеріальних точок (неперервна або дискретна) є плоскою, тобто знаходиться в одній і тій самій площині, що й вісь. Якщо ж система матеріальних точок не належить одній площині, то мова може йти лише про статичний момент відносно площини.

Для системи матеріальних точок мас  статичний момент  відносно осі (площини) визначається сумою , де  – відстані зі знаком ”+” або “-” залежно від того, де знаходяться точки (для точок, що лежать з одного боку від осі (площини) береться, наприклад, знак “+”, тоді для точок, що лежать з іншого боку, знак “-”).

Нехай у прямокутній системі координат  задана неперервна плоска система матеріальних точок (лінія ) або плоска фігура . Густина (лінійна для лінії, поверхнева для фігури) є функцією однієї змінної, наприклад тобто  

Виділивши на лінії елемент дуги, віддалений від осі  на відстань від осі  на відстань ) знайдемо елементарні статичні моменти  відносно осей  і :   

Отже,              

.15)

Якщо центр ваги має координати ,

Звідси                                     

.16)

Розглянемо тепер питання про знаходження центра ваги плоскої фігури, густина маси якої                                                     

Рис.10.11

. Якщо центр ваги фігури (рис. 10.11) знаходиться в точці , а маса фігури  то згідно з формулами (10.16) , для знаходження  і потрібно знати статичні моменти і масу фігури. Виділимо на осі  елемент  і побудуємо смужку, паралельну осі . Її довжина дорівнює  Оскільки густина є функцією лише , то по всій довжині смужки густину можна вважати сталою, саму смужку – прямокутником