Реферат на тему:

Застосування функцій багатьох змінних, визначеного інтегралу, диференціальних рівнянь в економіці

Застосування функцій багатьох змінних в економіці

Одним із базових понять економічної теорії є функція корисності, що виражає корисність придбання т різновидностей товарів. Часто вона використовується у формах:

- логарифмічна функція;

- функція постійної еластичності.

Функція Кобба - Дугласа - виробнича функція, яка характеризує залежність об'єму випуску продукції Q від затрат капіталу К і трудових ресурсів. Для випадку двох змінних вона має вигляд

де А>0 - параметр продуктивності конкретно взятої технології, 0<б<1 - доля капіталу в доході. Наведемо кілька прикладів: і) Знайти швидкість зміни об'єму продукції Q при зміні одного з факторів: витрат капіталу К чи величини трудових ресурсів L за функцією Кобба - Дугласа. Частинні похідні функції Q=А б К L1-б дають розв'язок цієї задачі

QK' = А б Кб-1 Lб-1 ; QL' = А(1-б) Кб Lб.

У функції Кобба - Дугласа показники б і 1-б є коефіцієнтами еластичності EK(Q) і EL(Q) за кожним із аргументів.

2) За функцією Кобба - Дугласа встановити на яку величину треба змінити об'єм вкладення капіталу К, щоб при зміні трудових ресурсів на L, випуск продукції не змінився.

Розв'язання. Оскільки Q = const за умовою, то dQ = 0, або

Звідки або

Для відносних величин отримується таке відношення еластичностей

Звідси видно, що для компенсації зміни ресурсу праці на 1% потрібно змінити ресурс капіталу на відсотків. Формула для ДК містить важливе економічне поняття - гранична норма зміни трудових ресурсів L капіталом К.

Розглянемо деякі типові задачі знаходження екстремуму функції кількох змінних, які часто зустрічаються в економіці.

Прибуток від виробництва товарів різних видів .

Нехай х1,х2....,хт кількості вироблених т різновидів товарів, які реалізуються за цінами p1, р2, ...рт (pі — сталі) відповідно. Нехай затрати на виробництво цих товарів задаються функцією

C=S (x1, x2, …, xm)

Тоді функція прибутку П = р1х1 + р2х2 + …+ртхт - S(x1, x2, ...,хт).

Максимум функції прибутку, при , шукаємо із умови локального екстремуму

Ці умови ведуть до розв'язування системи рівнянь

Система (1) реалізує відоме правило економіки: гранична вартість (ціна) товару рівна граничним затратам на виробництво цього товару.

Розв'язавши систему (1) треба переконатись чи отриманий розв'язок є дійсно точкою максимуму.

Прикладі. Нехай виготовляються два види товарів х та у. Їх ціни відповідно рівні p1=8, р2=10 у.о., а функція витрат С= х2+ху+уг. Знайти максимум прибутку.

Функція прибутку П(х,у) = 8x+10y - х2 - ху – у2.

Із умови локального екстремуму, отримуємо систему рівнянь

розв'язок якої є точка М(2;4). Оскільки А<0 а АС-В2>0 в точці М, тому в ній функція досягає максимуму, який рівний

Пmax = П(2;4)=28у.о.

Задача цінової дискримінації

Необхідно розподілити однорідний товар на різні ринки з різним попитом, щоб максимізувати загальний прибуток.

Оскільки, еластичність попиту на різних ринках неоднакова, то на