Реферат з математики

Дослідження на збіжність числових рядів з додатними членами (за допомогою ознак порівняння)

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд

Розв’язання.

Для порівняння використовуємо ряд - збіжну геометричну прогресію (бо ). Справедлива нерівність , отже ряд збігається.

Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд , де – деяке дійсне число.

Розв’язання.

Так як для всіх і ряд збігається, то за ознакою порівняння даний ряд збігається для довільного .

Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання.

Ряд збігається, так як для всіх і ряд розбігається (як гармонічний).

Приклад 4. дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання.

Збіжність ряду випливає з того, що його члени менші за (відповідні) члени збіжного ряду

;

.

А це означає, що збігається і даний (вихідний) ряд, бо він відрізняється від ряду лише першим членом.

Приклад 5. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання.

Додатний ряд є розбіжним, оскільки його загальний член “схожий” на загальний член гармонічного ряду. Застосуємо другу ознаку порівняння: , і одержимо підтвердження висновку про розбіжність заданого ряду.

Ознаки Д’Аламбера та Коші не дають відповідь на питання про збіжність цього ряду. Наприклад, .

Приклад 6. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання.

Тут . Для порівняння використаємо ряд з загальним членом - збіжну геометричну прогресію. Звідси:

тому, що , то обидва ведуть себе однаково і, значить, даний ряд збіжний.

Приклад 7. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання.

Скористаємось першою ознакою порівняння рядів. Оскільки для всіх , а гармонічний ряд розбігається, то й заданий ряд є розбіжним.

Приклад 8. Дослідити на розбіжність ряд .

Розв’язання.

Враховуючи нерівність , встановлюємо, що заданий ряд – збіжний, оскільки таким є ряд (узагальнений гармонічний).

Приклад 9. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання.

У цьому випадку зручно скористатись другою ознакою порівняння. Оскільки , то, враховуючи попередню вправу, встановлюємо, що заданий ряд є збіжний.

Приклад 10. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання.

Порівняємо заданий ряд із рядом, у якого . Маємо

.

Тому заданий ряд є збіжним.

Приклад 11. Дослідити на збіжність за допомогою ознаки порівняння ряд .

Розв’язання.

Оцінимо загальний член даного ряду: . Ця нерівність виконується для всіх . Отже, члени заданого ряду менші від членів збіжного ряду , що є геометричним рядом зі знаменником . На основі першої ознаки рядів даний ряд збігається.

Відповідь: ряд збігається.