РЕФЕРАТ

Теорема про

диференціювання функції.

Розділ: Диференціальне числення функцій змінної.

Тема: Теорема про диференціювання функцій.

І. Навчальна мета: засвоїти студентам геометричне застосування визначених інтегралів.

ІІ. Між предметна інтеграція: математика.

ІІІ. Зміст:

Опрацювати навчальний матеріал.

Дати відповіді на питання.

Опрацювати приклади.

ІV. План.

1. Формула Тейлора.

V. Контрольні питання:

Вивести формулу Тейлора. Способом інтегральних сум вивести формулу для обчислення площі поверхні обертання.

Вивести формулу Тейлора для функції при х0=1, n=3.

VI. Використана література:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. “Математика для Економістів” Вища математика. К.: Наукова Академія Управління, 1997. – 397 с. cт. 238-244.

Формула Тейлора

Розглянемо одну з основних формул математичного аналізу, так звану формулу Тейлора, яка широко застосовується як в самому ана-лізі, так і в суміжних дисциплінах. Зупинимося лише на трьох засто-суваннях.

В п. 3.3 ми бачили, що заміна приросту функції ЇЇ диференціалом дає змогу утворювати різні наближені формули. Виявляється, що ці формули можна уточнити, якщо застосувати диференціали вищих порядків: про це і йдеться у формулі Тейлора.

Формула Тейлора дає змогу розробити простий аналітичний апа-рат для обчислення значень функції у = f (x), які відповідають заданим значенням незалежної змінної х. Зрозуміло, що в тих випадках, коли функція задається формулою виду , значення обчислюється лише за допомогою чотирьох арифметичних дій. Але як знайти, наприклад, значення функції Очевидно, цю задачу найпростіше можна «розв'язати» за допомогою калькулятора. Але ж калькулятор дає лише відповідь. А питання проте, які він при цьому виконує дії, залишається відкритим. Формула Тейлора і вказує, які арифметичні дії потрібно виконати над х, щоб одержати sin x.

Іншими словами, формула Тейлора дає змогу зобразити дану функ-цію многочленом, що зручно для складання програм і обчислень цієї функції на ЕОМ.

Ще одне практичне застосування цієї формули пов'язане з об-робкою числових експериментальних даних. Якщо в результаті екс-перименту одержано масив значень (xі; уі), то спочатку будують графік залежності у = (х), а потім цю залежність описують аналі-тичне, причому, як правило, у вигляді многочлена.

Обгрунтування можливості представляти функцію многочленом дає формула Тейлора.

Теорема. Нехай функція f (х) має в точці х0 і в деякому її околі похідні до (n + 1)-го порядку включно, і нехай х — довільне значення аргументу із вказаного околу (хх0). Тоді між точками х0 і х зна-йдеться така точка с, що справедлива формула

О Позначимо многочлен, то стоїть у правій частині формули (1) через (х, х0):

(2)

Його називають многочленом Тейлора степеня n для функції(х). Різницю між функціями (х) і (х, x0) позначимо через Rn (х):

Теорема буде доведена, якщо встановимо, що

(3)

де точка С лежить між точками х0 і x;.

Зафіксуємо довільне значення х > x0 із вказаного околу. Позначимо через t величину, що змінюється на відрізку [х0;х], тобто х0tх, і розглянемо функцію

(4)

Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля, тому