|
|
|
|
|
Реферат - Задачі на використання властивостей дискримінанта. Використання формул Вієта. Розміщення коренів квадратного рівняння 5 Реферат на тему: Задачі на використання властивостей дискримінанта. Використання формул Вієта. Розміщення коренів квадратного рівняння Якщо дискримінант , то квадратне рівняння не має дійсних коренів. Через це квадратний тричлен не змінює свого знака при і має знак коефіцієнта або коефіцієнта . Приклад. Для яких значень параметра виконується нерівність ? Необхідною і достатньою умовою правильності нерівності є виконання системи умовРозв’язуючи цю систему нерівностей, знаходимо відповідь: . Приклад. При яких значеннях параметра нерівність виконується для будь-якого значення ? Приходимо до системи нерівностейяка має розв’язок . Приклад. Знайти всі значення параметра , при яких нерівність виконується для пари будь-яких чисел , таких що . Якщо , то . Приходимо до системи нерів-ностей яку можна записати у вигляді Приходимо до системи нерівностей для параметра : Ця система має розв’язок . Використання формул Вієта Приклад. Знайти значення параметра , при яких відношення коренів рівняння дорівнює 2. Маємо систему рівняньОскільки шукаємо тільки значення параметра , то виключаємо невідомі . Маємо рівняння: . Останнє рівняння має розв’язки , . При маємо , , а при , . Приклад. Знайти добуток значень параметра , при яких сума коренів рівняння дорівнює сумі їхніх квадратів. Скориставшись формулами Вієта, дістанемо системуОстаннє рівняння можна записати у вигляді . Виключаючи , дістаємо рівняння для . Приклад. Знайти ціле значення параметра , при якому рівняння має рівні між собою корені. Квадратне рівняння має рівні між собою корені, якщо його дискримінант дорівнює нулю. Розв’яжемо рівняння, звідки , . Значення шукане. Приклад. Знайти суму кубів коренів рівняння . Можна знайти корені рівняння і обчислити суму кубів коренів:. Таку саму відповідь можна дістати за допомогою формул Вієта: Функція називається симетричною, якщо вона не змінюється внаслідок довільного перестановлення аргументів, тобто . Коефіцієнти зведеного квадратного рівняння є симетричними функціями від коренів рівняння. Довільну симетричну функцію завжди можна подати через основні симетричні функції , . Це й було виконано в попередньому прикладі. Приклад. При яких значеннях параметра сума квадратів коренів рівняння буде мінімальною? Використовуючи формули Вієта, дістаємо:. Знаходимо дискримінант рівняння . Оскільки при довільних значеннях параметра виконується нерівність , то на значення параметра обмежень немає. Сума квадратів коренів набуває найменшого значення, що дорівнює 1, при . Приклад. При якому значенні параметра сума квадратів коренів рівняння набуває найменшого значення? Знаходимо дискримінант рівняння (1):. З умови знаходимо, що рівняння (1) має розв’язок лише при . Знаходимо суму квадратів коренів рівняння (1) за формулами Вієта: . Найменшого значення лінійна функція може набувати лише на кінці відрізка . Оскільки , то досягається при . Приклад. При яких значеннях параметра рівняння , мають спільний корінь? Запишемо рівняння Вієта, а далі візьмемо . Крім значень дістаємо також . Рівняння , мають спільний корінь . Ще один спосіб розв’язування прикладу полягає ось у чому. Нехай — шуканий спільний корінь рівнянь. Маємо систему алгебраїчних рівнянь (2) Виключимо , помноживши друге рівняння на і віднявши від першого рівняння. Дістанемо рівняння . При рівняння (2) не мають дійсних розв’язків. Виключаючи , дістаємо рівняння для параметра : , . При рівняння (2) не мають |