Умова перпендикулярності прямих: к/=
Умова перпендикулярності прямих: к/=.
8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1):
у-у1=к(х-х1)
9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2):
10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:
11. Загальне рівняння прямої:
Ах+Ву+С=0, (А2+В20).
12. Відстань від точки (х1,у1) до прямої Ах+Ву+С=0:
=
13. Рівняння кола з центром (х0,у0) і радіусом R:
(х-х0)2+(у-у0)2=R2
14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а і в:
(1)
Фокуси еліпса F(c;0) i F/(-c;0), де с2=а2-в2
15. Фокальні радіуси точки (х,у) еліпса (1):
r=a-Ex; r/=a+Ex,
де Е= - ексцентриситет еліпса.
16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а і в:
(2)
2
нерівностями axb, y1(x)yy2(x), z1(x, y)zz2(x, y)
де yi(x), zі(x, y), (і=1, 2) – неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z) можна обчислити за формулою:
.
Для заміток.
І. Аналітична геометрія на площині.
1. Паралельне перенесення системи координат:
х'=х-а, у'=у-в,
де О' (а;в) - новий початок, (х;у) - старі координати точки, [х';у'] - її нові координати.
2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):
х= х'cos- у'sin; y= x'sin+ y'cоs,
де (х,у) - старі координати точки, [х',у'] - її нові координати, - кут повороту.
3. Відстань між точками (х1,у1) і (х2,у2):
d=
4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х1,у1) і (х2,у2) в даному відношенні :
x= y=.
При =1, маємо координати середини відрізка:
х= у=.
5. Площа трикутника з вершинами (х1,у1), (х2,у2) і (х3,у3):
S=.
6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
у=кх+в,
де к=tg (кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох,
в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу.
7. tg= - тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к і к/.
Умова паралельності прямих: к/=к.
1
24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а і в:
x=a cos t, y=b sin t.
25. Параметричні рівняння циклоїди:
x=a(t-sin t), y=a(1-cos t).
II. Диференціальне числення функцій
однієї змінної.
Основні теореми про границі:
а)
б)
Зокрема,
в)
Чудові границі:
а) б)
3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:
lg x=М ln x, де М=lg e=0,43429…
4. Приріст функції у=f(x), що відповідає приросту аргументу х:
5. Умова неперервності функції у=f(x):
Основна властивість неперервної функції:
6. Похідна
Геометрично y /=f /(x) - кутовий коефіцієнт дотичної до
4
XI. Подвійні та потрійні інтеграли.
1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y), розповсюдженим на область S, називається число:
, (1)
де (хі, уі) є Si (і=1, 2,…n) і d – найбільший діаметр комірок Si.
Якщо f(x, y)0, то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y).
2. Якщо область інтегрування S стандартна відносно осі Оу і визначається нерівностями axb, y1(x)yy2(x),
де y1(x),y2(x) – неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y) виражається формулою:
.
3. Подвійний інтеграл в полярних координатах і r,
де x=r cos, y=rsin має вигляд:
Якщо область інтегрування S визначається нерівностями:, r1()rr2(), то
4. Якщо =(х, у)