Нескінченно малі та нескінченно великі величини

Означення 1. Змінна величина х називається нескінченно ма-лою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, почи-наючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишаєть-ся менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа є, тобто .

Нескінченно малі величини найчастіше позначають літера-ми б,в,г.

Наприклад, величина при є нескінченно малою.

Зауваження 1. Нескінченно мала величина є змінною величиною. Але, якщо постійну величину О розглядати як змінну величину, що приймає одне й те ж значення, то в цьому розумінні вона є нескінченно малою, тобто якщо б=0, то нерівність |а|< ви-конується для будь-якого > О,

Жодну іншу постійну величину, якою би малою вона не була (наприклад, розмір електрона), не можна назвати нескінченно малою.

Розглянемо деякі властивості нескінченно малих величин.

Теорема 1. Алгебраїчна сума будь-якого скінченного числа не-скінченно малих величин є величина нескінченно мала.

Доведення. Нехай задано k нескінченно малих величин б1, б2,...,бk. Доведемо, що їх алгебраїчна сума (б1 ± б2 ± ... ± бk) буде величиною нескінченно мстою. Візьмемо скільки завгодно мале > 0. Згідно з означенням нескінченно малих в процесі їх зміни наступить такий момент, починаючи з якого будуть ви-конуватися нерівності:

Звідси, використовуючи властивості модуля, одержимо:

|б1±б2+...±бk||б1| + |б2| + ... + |бk|<+ + ... + = е

Отже, маємо: |б1±б2+...±бk| е

Ця нерівність, згідно з означенням 1, означає, що (бl±б2±...±бk) є нескінченно малою величиною. Теорема до-ведена.

Теорема 2. Добуток обмеженої величини на нескінченно малу величину є величина нескінченно мала.

Доведення. Нехай у — обмежена величина, б — нескінченно мала. Для обмеженої величини у існує таке число М, що |у| М. Згідно з означенням нескінченно малої в процесі змінювання a наступить такий момент, починаючи з якого буде виконуватися нерівність < — для будь-якого е > 0. Тому, починаючи з деякого моменту, буде виконуватись нерівність

Ця нерівність означає, що у-а є величиною нескінченно ма-лою, що і треба було довести.

Наслідок 1. Добуток постійної величини на нескінченно малу є ве-личина нескінченно мала.

Наслідок 2. Добуток скінченної кількості нескінченно малих вели-чин є величина нескінченно мала.

Дійсно, постійні та нескінченне малі величини — обмежені величини, тому для них має місце твердження теореми 2.

Означений 2. Змінна величина х називається нескінченно ве-ликою, якщо а процесі її зміни наступиш такий момент, почи-наюча з якого абсолютна величина х стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно великого, наперед заданого додат-ного числа N, тобто >N.

Наприклад, величина 10n при є величина нескінченно великі.

Між нескінченно великими і нескінченно малими величинами існує простий зв'язок: якщо х нескінченно велика величина, то — нескінченно мала, і навпаки, якщо у — нескінченно мала і у0, то буде нескінченно великою величиною.

Тому можна довести, що алгебраїчна сума скінченної кількості нескінченно великих величин буде