Реферат з математики

Загальне рівняння площини та його дослідження

Покажемо, що алгебраїчною поверхнею першого порядку є пло-щина. Для цього доведемо такі теореми.

Теорема 1. Площина в прямокутній декартовій системі ко-ординат визначається загальним рівнянням першого степеня відносно поточних координат.

Доведення. Геометричне будь-яку площину в просторі XYZ можна задати за допомогою вектора , перпендикуляр-ного до цієї площини, і точки M0 (x0, y0, z0), Через яку проходить дана площина

Візьмемо довільну точку M (х, у, z) і знайдемо вектор . Точка M належить заданій площині тоді і тільки тоді, коли Тоді ;

Оскільки то скалярний добуток мо-жна записати у вигляді

А(х – х0) + В(у – у0) + C(z – z0) = 0,

або

Ах + By + Cz - (Aх0 + Ву0 + Cz0) = 0. (1)

Позначивши

- (AX0 + Ву0 + Cz0) = D

дістанемо загальне алгебраїчне рівняння першого степеня:

Ах + By + Cz + D = О, (2)

Отже, будь-яка площина в декартових прямокутних коорди-натах може бути зображена рівнянням першого степеня.

Зауважимо, що рівняння (1) є рівнянням площини, яка проходить

Через точкуу M0 (х0, у0, z0) перпендикулярно до вектора = (А, В, С). Доведемо тепер обернену теорему.

Теорема 2. Загальне рівняння першого степеня

Ax + By + Cz + D = 0, (3)

де А, В, С і D — довільні дійсні чи-сла; х, у, z — поточні координата, визначає в декартовій прямокут-ній системі координат площину. Доведення. Доберемо трійку чисел (х0, y0> z0), які задоволь-няють рівняння (3). Це можна зробити таким чином. Два числа х0 і у0 візьмемо довільно, а третє z0 знайдемо з рівняння (3). Тоді ,

Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = 0. (4)

Віднімаючи від рівняння (3) рівняння (4), дістаємо

А(х – х0) + В(у – у0) + C(z – z0) = 0. (5)

Це рівняння є рівнянням площини, перпендикулярної до векто-ра = (А, В, С) і такої, що проходить через точку M0 (х0, у0, z0). Таким чином, кожна площина є поверхнею першого порядку, і, навпаки, кожна поверхня першого порядку є площиною. Тому рів-няння (l) або (3) називається загальним рівнянням площини.

Рівняння ;

= 0 (6)

називається векторним рівнянням площини. Враховуючи, що векторне рівняння площини запишемо у вигляді:

, або

Якщо у загальному рівнянні площини покласти z – z0 = 0, то ді-станемо рівняння,

А(х – х0) + В(у – у0) = 0,

або

Ах + By + С = 0, (7)

де С = - (Ax0 + Ву0). Рівняння ( 7) називається загальним рів-нянням прямої, що лежить у площині хОу.

Дослідження загального рівняння площини

Розглянемо загальне рівняння площини .

Ах + Вy + Cz + D = 0. (8)

де А, В, С і D — довільні числа, причому хоча