З’ясуємо, як обчислити це відхилення. Позначимо: R – радіус описаного біля трикутника Рьоло кола; r = O1N. Тоді

А1В1=А2В2=А3В3=А4В4= R,

ND= r – R + R (1)

З трикутника А1NA4 одержуємо

А1N = r + R

NE = (r + R) / 2 (2)

З урахуванням, що DE = ND = NE, з рівнянь (1) і (2) визначимо

DE = r + R( - 1) – (r + R) /,

або

DE = R( – 1 – ()/2) + r(1 – ()/2) ~ 0,025R + 0,293r (3)

Таким чином, відхилення DE сторони квадрата від ідеальної прямої залежить, у першу чергу від радіуса r і не може бути усуненим, тому що R і r не можуть дорівнюватися нулю.

Окреслення n-кутника складеним

обертанням m-кутника Рьоло

Ґрунтуючись на отриманих Францем Рьоло результатах, розглянемо більш загальну задачу обертання m-кутника Рьоло з різними швидкостями навколо центрів обертання для окреслення замкнутої фігури у формі n-кутника (n>m).

Розглянемо кінематику утворення трикутником Рьоло кутів А1В2С3 і А4А1В2. Для того, щоб кут А1В2С3 був утворений вершиною В трикутника Рьоло, необхідно за час t перемістити трикутник по годинниковій стрілці на кут 2р/n навколо центра N, але при цьому прокрутити його проти годинникової стрілки на кут (2р/n) – (2р/m). Визначимо кутові швидкості обертання трикутника Рьоло:

б = (2р/nt) – (2р/mt) = 2р(m – n) / (tmn),

в = 2р/nt,

де б – кутова швидкість обертання трикутника Рьоло навколо центра О1 описаного біля нього кола;

в – кутова швидкість обертання центра О1 навколо центра N.

Установимо, чому дорівнює співвідношення швидкостей:

б / в = 1 – (n / m). (4)

Таким чином, у результаті аналізу утворення чотирикутника за допомогою трикутника Рьоло встановлено, що цей процес є окремим випадком утворення n-кутника в результаті складеного обертання m-кутника. Співвідношення (4) показує, що n-кутник може бути окресленим, якщо на процес обертання центра О1 m-кутника навколо центра N накласти обертання в протилежну сторону m-кутника навколо його центра О1 з кутовою швидкістю б, що відрізняється в n/m раз від кутової швидкості в.

Формула (4) також показує:

1) оскільки n > m, то кутові швидкості б і в завжди будуть протилежні за знаком;

2) трикутник Рьоло при обертанні з різними швидкостями б і в може окреслювати будь-який правильний n-кутник (n > m), наприклад, шестикутник, якщо б = - в, дев’ятикутник, якщо б = -2 в і т.д.;

3) можна замість трикутника Рьоло використовувати інші фігури з m-ним числом кутів;

4) з практичною метою, на наш погляд, замість трикутника Рьоло можна застосовувати сочевицеподібний контур (m=2); інструменти і деталі, що мають цей контур, простіші у виготовленні, менші за габаритами, і, як наслідок, дешевші.

Розрахунок контурів n-кутників,

що окреслені трикутником Рьоло

Науковий і практичний інтерес викликає не тільки необхідність обчислювання відхилення DE, але й встановлення координат контурів n-кутників, що окреслені m-кутниками на зразок трикутника Рьоло.

Спочатку визначимо координати будь-якої точки контуру трикутника Рьоло при сталих б і в.

Рис.2. Схема для визначення координат

контуру трикутника Рьоло.

Задамо кутом г точку G на контурі трикутника Рьоло (при подальшому оберті трикутника Рьоло точка G переходить у точку Е контуру чотирикутника). Позначимо центральний LACG=ц. Тоді LABG=ц/2. Хай OG=Rг. Визначимо Rг. З трикутників АСЕ’ та АОЕ’:

АЕ’2=6R2-6R2cosц,

АЕ’2=R2+ Rг2-2Rrгcosг,

звідки

cosц=(5R2+2RRгcosг- Rг2)/6R2

З трикутника Е’СВ за теоремою косинусів:

За теоремою синусів з трикутника ОВЕ’ маємо:

Rг=(BE’ sin(30o+ц/2))/ sin(120o-г),

звідки

Нехай трикутник АВС обертається навколо центру О з кутовою швидкістю б. У системі координат, що зв’язана з центром О, визначимо координати точки G:

XG=Rгsin(г-б)

YG=Rгcos(г-б)

Якщо центр О обертається навколо центру N з кутовою швидкістю в, то точка G переміщується у точку Е’ і у системі координат, що зв’язана з центром N, набуває координати, які можна обчислити за формулами:

XG=rcosв+ Rгsin(г-б) (5)

YG=rsinв+ Rгcos(г-б). (6)

Визначимо в загальному вигляді відхилення D’E’ (див рис.3).

Рис.3 Схема для визначення відхилення D’E’.

Рівняння прямої v, тобто сторони AB1 n-кутника, до якої належить точка D’, має вигляд:

Y=kX+(R+r). (7)

Як відомо, коефіцієнт k=tg(щ), де щ – кут між прямою v та віссю х. В нашому випадку для окреслення чотирикутника щ=45о, а для n-кутника – щ=180о/n.

Визначимо рівняння прямої u, часткою якої є відхилення D’E’:

Y=k1X+b1, (8)

k1=tg(ш)=tg(щ+90o)=-ctg(щ)=-1/k.

Координати точки Е’ дозволяють обчислити b1:

b1=YE’-kXE’.

Рівняння (7) та (8) утворюють систему, рішенням якої є координати точки D’:

XD=(kYE’+ XE’+k(R+r))/(k2+1),

YD=(k2YE’+kXE’+k(R+r))/(k2+1).

Таким чином за відомими координатами точок D’ і E’ можемо обчислити відхилення D’E’ за формулою:

Окреслення правильного чотирикутника

складеним обертанням трикутника Рьоло

Францем Рьоло вказувалося, що при окресленні трикутником Рьоло чотирикутника утвориться невелика неперекрита трикутником площа чотирикутника. У даній роботі цей висновок був сформульований у вигляді формули (3). Я взяв собі за мету: що потрібно зробити для усунення кривини сторін чотирикутника. Один з варіантів передбачає (рис.4) утворення чотирикутника таким трикутником Рьоло, що має радіус кривини с ? R. Оскільки на рис.1 чотирикутник має опуклі сторони, вважаємо, що радіус кривини сторін трикутника Рьоло, що дорівнює, недостатній для забезпечення паралельності сторін чотирикутника. З цього випливає с > .

Рис.4. Схема окреслення правильного чотирикутника обертанням трикутника Рьоло із зміненим радіусом кривини сторін

Для сегмента А2LB2M запишемо:

с = [(LA2)2 + LM2] / 2LM. (9)

З трикутника O2B2L визначимо LA2:

LA2 = () / 2 (10)

Висота сегмента LM є частиною катета прямокутного трикутника A1NM:

LM = NM – NL,

для якого

NM = A1N·cos45є, тобто