1. Числова послідовність та її границя.

(здесь и дальше по умолчанию R это |R (в вопросах 1-4))

Числовою послідовністю (xn) наз. відображення NR: nxn, т.т. ф-ція, яка кожному натуральному числу n ставить у відповідність деяке дійсне число xn.

Послідовність дійсних чисел (xn) наз. збіжною, якщо aR: 0 N: nN xn - a<. Число a наз. границею послідовності (xn) і позначається lim xn=a, n або xna при n. Якщо a=0, то послідовність (xn) наз. нескінченно малою і позначається o(1). Якщо 1xn=o(1), то послідовність (xn) наз. нескінченно великою і позначається lim xn= , n. Якщо послідовність немає границі, то вона наз. розбіжною.

Якщо для послідовності (xn) C: nN xn<C, то послідовність наз. обмеженною і позначається O(1). Символи o(1) та O(1) наз. символами Ландау.

Теорема 1. lim xn= a xn= a+o(1), n, aR

Необхідність: нехай а - границя послідовності xn. >0 N; n>N xn-a< xn-a=n >0 N, n>N n<. n -нескінчено мала т=о(1) xn-a=o(1)

Достатність: xn-a=o(1) доведемо, що Lim xn=a, n. xn-a=n n=o(1) n -нескінчено мала. >0 N, n>N n< xn-a< Lim xn=a, n

Теорема 2 (дії над символами Ландау).

n, n -неск. малі >0 N1: n>N1 n</2 (1); >0 N2: n>N2 n</2 (2) N=max{N1;N2} n>N виконується (1) і (2) nnn+n</2+/2= n>N o(1)+o(1)=o(1)

xn -обмежена величина, n -неск. мала C>0: xnC для n=1,2,... (/C) N, n>N n</C xn*n=xn*n<C*(/C)=, n>N O(1)*o(1)=o(1)

Наслідок.

Якщо xna, ynb при n, (xnyn)ab, то (xn*yn)a*b, (xn/yn)a/b (якщо nN yn b).

Теорема 3 (критерій Коші).

Послідовність (xn) збіжна тоді і тільки тоді, коли вона фундаментальна, тобто 0 N: nN, pN |xn-xn+p|<.

2. Границя і неперервність функції в розумінні Коші та Гейне.

Функція f:RR має границю при xx0 (або в точці x0), якщо aR: для довільної послідовності (xn)Df: xnx0 при n відповідна послідовність значень функції f(xn)a при n при цоьму записують lim f(x)=a, xx0 (границя за Гейне).

Функція f:RR має границю при xx0, якщо aR: 0 xDf x-x0 f(x) - a< (границя за Коші).

Теорема 1. Означення границі функції за Коші та за Гейне еквівалентні.

Функція f:RR наз. неперервною в точці x0Df, якщо lim f(x)=f(x0), xx0, маючи два означення границі функції в точці можемо записати неперервністьфункції за Гейне та Коші:

(за Гейне): функція f:RR неперервна в точці x0Df, якщо для довільної послідовності (xn) Df: xnx0, n виконується умова f(xn)f(x0), n;

(за Коші): функція f:RR неперервна в точці x0Df, якщо 0 xDf x-x0 f(x) - f(x0)<

3.Властивості неперервної функції на компакті.

Множина KR називається компактною в собі, або компактом, якщо з будь-якої послідовності (xn)K можна виділити підпослідовність (xnk), збіжну до деякої точки x0K.

Теорема 1. Множина KR є компактом коли вона одночасно замкнена і обмежена.

Теорема 2. Нехай f:RR неперервна на Df функція і Df - компакт. Тоді множина Ef - компакт.

Теорема 3. (Вейєрштрасса) Нехай f:RR неперервна на компакті Df функція. Тоді вона має найбільше та найменьше значення.

Теорема 4. (Коші) Нехай f:[a,b]-fR неперервна на Df, і на кінцях проміжку [a,b] приймає значення різних знаків, тобто f(a)*f(b)<0 тоді c(a,b): f(c)=0

Теорема 5. (Коші) Нехай функція [a,b]-fR неперервна на Df і приймає в точках a і b різні значення A і B. Тоді для довільного числа С між A i B c(a,b): f(c)=C.

4. Диференційованість функціі. Критерій диференційованості.

Функція f:RR називається диференційованою в точці x0Df (x0 - гр. т Df) , якщо існує таке лінійне відображення L:RR, що Lim (f(x)-f(x0)-L(x-x0))/(x-x0))=0, xx0 озн.)

якщо f(x)-f(x0)=A(x-x0)+ o(x-x0) A=const озн)

якщо Lim ((f(x)-f(x0))/(x-x0))=f(x0), xx0 де f(x0) - похідна функції в точці x0 озн)

Теорема 1. Якщо функція f має похідну в точці x0, то вона диференційована в цій точці.

Функція (a,b)fR диференційована в точці x0(a,b) зліва (зправа), якщо її звуження на проміжок (a,x0] ([x0,b)) є диференційованим в точці x0, значення похідної цього звуження в точці x0 називається лівою (правою) похідною функції f в точці x0 і позначається f-(x0) (f+(x0)). (Рублев)

x0 - гр. т. Df, x0Df , Lim ((f(x)-f(x0))/(x-x0))=f-(x0), xx0-o; f-(x0) - ця скінчена границя наз. лівою похідною функції в т. x0. Lim ((f(x)-f(x0))/(x-x0))=f+(x0), xx0+o; f+(x0) - //- правою похідною. (Олександрович)

Теорема 2. (Критерій диференційованості) Для того, щоб функція (a,b)fR (f:RR) була диференційованою в точці x0(a,b) (x0Df) щоб вона мала в цій тоцчі скінчені ліву і праву похідні і при цьому f- (x0)= f+ (x0).

5. Локальний екстремум. Необхідні та достатні умови екстремуму.

Функція f: (a,b)R має локальний максимум (мінімум) в точці x0(a,b), якщо існує окіл (x0-, x0+)(a,b) такий, що x(x0-,x0+) f(x)f(x0) (f(x)f(x0)).

Якщо останні нерівності будуть строгими (xx0), тобто f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0)), то локальний максимум (мінімум) називається строгим.

Т1. (Ферма, необхідна умова екстремума).

Нехай функція f: (a,b)R має локальний максимум (мінімум) в точці x0 (a,b) і має в цій точці як праву так і ліву похідну. Тоді f-'(x0)0 і f+'(x0)0 (f+'(x0)0 і f-'(x0)0), якщо f - диференційована в точці x0, то f'(x0)=0.

Т2. (Перша достатня умова екстремума).

Нехай f: (a,b)R - неперервна на (a,b) функція і f' існує в кожній точці деякого околу точки x0 (x0-,x0+)(a,b). Якщо при переході через точку x0 f' змінює знак, то в цій точці функція має локальний екстремум.

Т3. (Друга достатня умова екстремума).

Якщо функція f: (a,b)R задовольняє в точці x0 (a,b) умовам :1) f"(x0)0 і 2) f'(x0)=0, то f має локальний екстремум в точці x0.

Т4. (Третя достатня умова екстремума).

Нехай функція f: (a,b)R задовольняє в точці x0