6. Інтеграл Рімана. Критерій інтегровності функціі за Ріманом.

Нехай f: [a,b]R - обмежена на [a,b] функція. Розбиттям сегмента [a,b] називають скінченну множину точок a=x0<x1<x2<...xn=b. Позначимо як: xi=xi+1-xi, i=0,...,n-1; Mi = f(x), mi = inf f(x).

Верхнею та нижнєю інтегральними сумами Дарбу називаються та позначаються відповідно вирази: п(f) = Mi - xi, Sп(f) = mi - xi.

Якщо розглянути множину {} - всіх можливих розбиттів сегмента [a,b], то розглянемо числа , , які називаються відповідно верхнім та нижнім інтегралом функції f на [a,b].

Функція f називається інтегрованою за Ріманом на сегменті [a,b], якщо f dx=f dx, їх спільне значення називається інтегралом Рімана функції f на [a,b] і позначається f(x)dx.

Т1. Для того,щоб обмежена функція f: [a,b]R була інтегрованою за Ріманом на [a,b] необхідно та достатньо, щоб >0 - розбиття сегменту [a,b]:

0 (f) - Sп (f) < .

Нехай - деяке розбиття сегмента [a,b], позначимо d()=maxi=0,n-1 xi - диаметр розбиття. На кожному проміжку [xi,xi+1], i=0,...,n-1 виберемо довільну точку i , і утворимо інтегральну суму Рімана Sп (f) = f( i )xi.

Т2. Якщо при d()0 існує границя limd(п)0 Sп (f) = I R, то функція f є інтегрованою за Ріманом і I = f(x)dx.

Множина XR має лебегову міру нуль , якщо існує таке зліченне покриття W={(i, i)i } інтервалами, сумарна довжина яких не перевищує .

Т3 (Лебега). Нехай f : [a,b]R - обмежена функція і E[a,b] - множина її точок розриву. Тоді f інтегрована за Ріманом тоді і тільки тоді, коли E - множина лебегової міри нуль.

7. Числові ряди. Ознаки збіжності

Нехай задано послідовність (xn) дійсних чисел. Числовим рядом xn називається послідовність чисел (Sn)=( xi). Числа xn та Sn називаються відповідно

n-м членом та n-ю частковою сумою ряду. Границя послідовності часткових сум ряду, якщо вона існує, називається сумою ряду і позначається символом xi . Ряд із скінченною сумою називається збіжним. Не збіжний ряд називається розбіжним.

Т1. (Необхідна ознака збіжності ряду). Якщо ряд xn збігається, то limn xn=0.

Т2. (Критерій Коші). Ряд xn збігається тоді і тільки тоді, коли N : n N p Sn+p-Sn=xi < .

Тепер розглянемо декілька достатніх ознак збіжності знакосталих рядів xn, тобто рядів, у яких n xn>0.

Т3. (Ознака порівняння). Якщо є два ряда xn, yn i n 0<xnyn, тоді :

1) Із збіжності ряду xn випливає збіжність ряду yn; 2) Із розбіжності ряду xn випливає розбіжність ряду yn.

Т4. (Ознака порівняння із степеневим). Якщо при n xn=O(1/np), то ряд xn при p>1збігається, а при p1- розбігається.

Т5. (Ознака Коші). Якщо для ряду xn lim (xn1/n) =l, то при l<1 ряд xn збігається, а при l>1- розбігається.

Т6. (Ознака д' Аламбера). Якщо для ряду xn limn (xn+1 /xn) =l, то при l<1 ряд xn збігається, а при l>1 - розбігається.

Т7. (Узагальнена ознака д' Аламбера). Якщо для ряду xn limn (xn +1 /xn) <1, то він збігається.

Т8. (Ознака Раабе). Якщо для ряду xn limn n(xn /xn+1 - 1) =r , то при r>1 ряд xn збігається, а при r<1- розбігається.

? Т9. (Ознака Гауса). Якщо для ряду xn, де - сталі, і - обмежена послідовність. Тоді при умовах або ряд xn збігається, а у всіх інших випадках розбігається.

Т10. (Інтегральна ознака). Ряд f(n) збігається одночасно з інтегралом Оf(t)dt.

Тепер розглянемо ряди з довільними членами. Якщо для ряду xn збігається ряд xn , то ряд xn називається абсолютно збіжним.

Т11. Якщо ряд xn абсолютно збіжний, то він збігається.

Якщо ряд xn збігається, але не абсолютно ( тобто ряд xn розбіжний ), то він називається умовно збіжним.

Т12. (Ознака Лейбница). Знакоперемінний ряд (-1)nxn ( n xn 0 )збігається, якщо послідовність (xn) монотонно прямує до нуля.

Т13. (Ознака Діріхле). Ряд un vn збігається, якщо часткові суми Sn = xi обмежені, а послідовність (vn ) монотонно прямує до нуля.

Т14. (Ознака Абеля). Ряд un vn збігається, якщо збігається ряд un , а послідовність (vn ) є монотонною та обмеженою.

8. Фунціональні ряди. Ознаки рівномірної збіжності.

Відображення множини в множину всіх функцій називається функціональною послідовністю і позначається (fn).

Нехай для функціональної послідовності (fn) існує функція f така, що виконуються умови: n Dfn =Df=XR, xX (fn)f(x) при n. Тоді послідовність (fn) поточково збігається до функції f

Послідовність функцій (Sn) називається функціональним рядом, якщо існує така послідовність функцій fn: n Dfn =X i (n,xX) Sn (x)= fi(x).

Поточковою сумою ряду fn на множині X=Dfn називається поточкова границя його часткових сум, якщо вона існує. Ряд називається поточково збіжним, якщо його поточкова сума існує і є скінченною.

Число sup xDf f(x) називається рівномірною нормою функції f і позначається f.

Нехай n Dfn =Df=X. Функціональна послідовність (fn) називається рівномірно збіжною до функції f, якщо fn - f 0, n і позначається fn f.

Функціональний ряд fn рівномірно збігається до функції S (n Dfn =Ds=X), якщо Sn S , де Sn - часткові суми ряду fn.

Т1. (Ознака Вейєрштраса). Нехай для функціонального ряду fn існує послідовність додатніх чисел (an), для якої виконуються умови : n fn an і ряд an - збіжний. Тоді функціональний ряд fn рівномірно збіжний.

Т2. ((Ознака Абеля). Нехай :