Т3. (Ознака Діріхле). Нехай n Dfn =Dn =XR i xX послідовність (fn(x)) монотонно спадна. Якщо i(x)=O(1)fn = o(1), то ряд fn n рівномірно збіжний.

13.Градієнт, дивергенція та вихор векторного поля.

Нехай задане скалярне полен U(m). Дуже часто виникає питання швидкості зміни цього поля чи похідна по якомусь напряму. Нехай ми маємо якийсь напрям l та точку M0 тоді

Означення:Похідній по напрямку від функції U(m) в точці M0 за напрямком l називають границю - норма (довжина вектору) така границя позначається Ця функція характеризує «швидкість зміни» вказаної функції в точці M0 за напрямком l.

Теорема. Якщо ми маємо систему координат (x1,.., xn) тоді похідна по напрямку буде визначатися формулою

=де - косинус вектора напрямку та відповідної координатної осі.

Означення: Вектор називається градієнтом величини U та його позначають g=gradU. З формули похідної по напрямку випливає що градієнт є вектор якій за численим значенням та за напрямком характерезує найбільшу швидкість зміни величини U. Легко переконатись що напрямок градієнта співпадає з напрямком вектора - дотичного до поверхні рівня U(x)=const яка проходить через дану точку. Отже скалярне поле U породжує векторне поле gradU.

Можна ввести інеше позначення градієнта - через симвіл Гамільтона:, тоді градієнт переписуєтьсмя в виглядіде - формальне скалярне множення.

Нехай тепер ми маєжмо векторне поле A. Розглянемо тіло V, обмежене замкненою поверхнею S, n - зовнішня норомаль до поверхні. Тоді за формолую Остроградського ми можемо потік вектору A через поверхню S зовні, перетворити в інтеграл:

цей вираз підж знаком інетегралу називають дивергенцією (або розхідність) вектору А та позначається символом

; формула Остроградського перепишеться

І на цей раз векторне поле породжує скалярне поле дивергенції divA.

З фізичної точки зору ( в задачах перетікання) div A буде означати щильність джерел. В випадку коли DivA=0 то таке поле називають соленоідальним - трубчатим ( потік поверхню яке обмежує замкнуте тіло дорівнює нулю). За допомогою Гамільтоніана ми отримаємо формулу

Нехай l- якась крива в межах розлядуємої області яка обмежую задану поверхню S, тоді за формолую Стокса ціркуляція векторного поля за цією кривою буде дорівнювати (виберемо хрьохмірний випадок для спрощення):

Тоді вектор називається вихорем, або ротором поля A та позначається rot A. тоді формула Стокса запишеться в вигляді І за допомогою Гамільтоніана ми отримаємо - векторний добудок векторів. Дуже часто в задачах механіки виникають питання коли дане векторне поле A буде полем градієнту деякої скалярної величини U :A=gradU. Коли така функція U існує тоді фукнцію U називають потенціалом поля а первісна U - потенційною функцією поля, поле A тоді називається потенційним. Виявляється що для того щоб поле було потенційним необхідньо і достатньо щоб поле було безвихрьовим - rotU=0 всюди в розлядуємій множині. В такому полі робота (циркуляція вектору по замкненуму контуру) яка переводить тіло в теж саме положення дорівнюватиме нулеві.

10.Невласні інтеграли. Ознаки збіжності

Невласні інтеграли першого роду:

=

=

= =

Введемо позначення:

S(A) = , - залишок

Якщо є збіжність

1. , (збіжність залишку)

a) =

= ,

або

б) ,

= S(A) +

,

2.

3. Якщо [a, ) замінити на [, ), то з

4. Якщо ,

- особлива, якщо в

f(x) необмежена.

Невласні інтеграли другого роду:

Нехай f:[a,b) R, b - особлива. Тоді збіжний, якщо

Нехай f:(a,b] R, a - особлива. Тоді збіжний, якщо

Нехай f:(a,b) R, a,b - особливі. Тоді збіжний, якщо

Надалі розглядаємо , де b - особлива.

Критерій Коші збіжності невласного інтегралу першого роду:

, S(A) =

Критерій Коші збіжності невласного інтегралу другого роду:

збіжний

Абсолютна та умовна збіжність невласних інтегралів першого роду

(1)

(2)

Якщо збіжний (1) і збігається(2), то (1) - абсолютно збіжний, а f(x) абсолютно інтегровна.

(1) умовно збіжний (1) або (2).

Теорема: Якщо f(x) абсолютно інтегровна, (обмежена), .

Теорема: (1) абсолютно збіжний (2) збіжний.

,

Абсолютна та умовна збіжність невласних інтегралів другого роду

(3)

(4)

Якщо для збіжного (3) збігається(4), то (3) - абсолютно збіжний, а f(x) абсолютно інтегровна.

(3) умовно збіжний (3) або (4).

Ознаки Абеля та Діріхле для невласних інтегралів першого роду

()

Ознака Абеля: Якщо (збіжний), або g(x) , то () збіжний.

=,

Ознака Діріхле: Якщо S(A) = , то () збіжний.

< , бо інтеграли обмежені, .

Ознаки Абеля та Діріхле для невласних інтегралів другого роду

, b - особлива ()

Ознака Абеля: Якщо (збіжний), або g(x) на [a,b), то () збіжний хоча б умовно.

Ознака Діріхле: Якщо S() = , g(x) , то () збіжний хоча б умовно.