1.Основні рівняння прямої та площини у просторі.

А) Загальне рівняння площини у просторі.

Нехай задана площина П. Фіксуємо прямокутн. Декарт. систему координат. Будь-який ненульовий вектор наз. Нормальнім вектором. Площ-а однозначно візначена нормальним вектором і деякою точкою цієї площ-ни. Нехай n=(a,b,c), Ax0,y0,z0symbol 125 \f "Symbol" \s 8. Знайдемо рівні що задають цю пл-ну.

Візьмемо довільну Вx,y,zsymbol 125 \f "Symbol" \s 8;

AB=(x-x0,y-y0,z-z0). Ясно, що ВєП(n, AB )=0a(x-x0)+

b(y-y0)+c(z-z0)=0. Рівняння площини с зад. Норм. Вектором:

ax+by+cz+(-ax0+by0-cz0)=0

(-ax0+by0-cz0) d

Таким чіном, кожна площина у просторі зад. Таким рівнянням третьего порядку і середь коефіцієнтів при невідомих обовьязкого є відмінні від 0.

В) Рівняння площини що прох. Через 3 задані точки.

Нехай Аx0,y0,z0symbol 125 \f "Symbol" \s 8,Bx1,y1,z1symbol 125 \f "Symbol" \s 8,Cx2,y2,z2symbol 125 \f "Symbol" \s 8 точки пл-ни що не лежать на одній прямій. Візьмемо довільну Д(x,y,z) і введемо векторі

АB=(x1-x0,y1-y0,z1-z0)

AC=(x2-x0,y2-y0,z2-z0)

AD=(x-x0,y-y0,z-z0)

Помітимо, що Д Є Площині ПАВ,АС,

АД - компланарнівизначн. 3-го порядка=0.

x1-x0 y1-y0 z1-z0

x2-x0 y2-y0 z2-z0 = 0

x-x0 y-y0 z-z0

В) Нормальне рівняння площини у просторі

Позначимо через n вектор один.

Довжини, прикладений до початку координат, до пл-ни П і спрямований у бік пл-ни. Якщо Пл-на прох. Через поч. Коорд, то можна взяти будь-який вектор одиночної довжини

ОР Р, ОА=(x,y,z)

A Є ПпрnОА=Р(n,ОА)=Р. Позначимо кути які утв. n з коорд. Осями n=(cos , cos , cos ). Тоді нормальне рівняння площини у просторі xcos + ycos + z cos - P=0.

А) Основні рівняння прямої у просторі.

Пряма як перетин площин.

Нехай у просторі задана пряма L.

Фіксуємо дві площини що проходять П2

через цю пряму.

П1 : П2 : a2x+b2y+c2z+d2=0

Тоді т-ка Мx,y,zsymbol 125 \f "Symbol" \s 8Є L коли ії коорд. Задов. Системі лін. Рівнянь.

Система 2 лін. Рівнянь наз. Загальним рівнянням прямої у просторі.

В) Векторне рівняння прямої.

Нехай є пряма L. Довільний ненульовий вектор m(a,b,c) що парал. L наз. Спрямовуючим вектором цієї прямої. Зафіксуємо М0x0,y0,z0symbol 125 \f "Symbol" \s 8.

Пл-на задана точкою і прямою.

Візьмемо на пл-ні бігаючу

т-ку Мx,y,zsymbol 125 \f "Symbol" \s 8.М Є LМ0М

параллеленm t, що

М0М= t m.

Для довільного дійсного t точка М, що задовільняє цьому рівнянню належит прямій L. М0М= t m - Векторне рівняння прямої.

Перепишемо векторне рівняння в коорд.

М0М=(x-x0,y-y0,z-z0)

x-x0=ta, y-y0=tb,z-z0=tc

Cистема з 3-х рівн. Наз. Параметричним рівнянням прямої.

Виключимо параметр t і отримаємо

(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c - Це канонічне рівняння прямої.

2. Критерій сумісності системи лінійних рівнянь.

Розглянемо систему n-лінійних рівнянь з n невідомими.

a11 x1+a12 x2+...+a1n xn=b1

a21 x1+a22 x2+...+a2n xn=b2

.................................................

an1 x1+a22 x2+...+ann xn=bn

Система наз. Сумісною, якщо вона має принаймні 1 розв’язок. Сумісна система наз. Визначенною, якщо вона має єдиний розв’язок.

Позн. Через - визначник, склад. з коєф. При невід. і назвемо головним визначником системи.

a11 a12 ... a1n

= a21 a22 ... a2n

.......................

an1 an2 ... ann

Крім головного- введемо ще n допоміжних визначників. 1-й з них 1, отриман заміною 1 стовб. Визн. на стовбчик вільних членів, 2- 2- зам. 2 ст. і т.д.

a11 a12...a1i-1 b1...a1n

i= a21 a22...a2i-1 b2...a2n

....................................

an1 an2...ani-1 bn... ann

Теорема КРАМЕРА(кільк. Рівнянь=квльк. Невід)

Якщо гол. Визн. Квадр. Системи лін. Рівнянь, відм. Від 0, то система, визначена і ії єдиний розв’язок дають формули Крамера:

x1=1/, x2=2/,...xn=n/.

3.Лінійна залежність та ранг системи векторів, методи обчислення рангів.

Будь-яку скінченну послідовність а1,а2...аm назвемо системою векторів, в системі вектори можуть повторюватись.

1a1,2a2...mam- лінійна комбінація системи векторів з коєф. 1,2...m.

Якщо 1= ... m=0 тоді лінійна комб.=0. Така комбінація тривіальна. Отже лін. Комб. Нетрівіальна, якщо середь коєфіціентів є принаймі 1 відмін. Від 0. С-ма вект a1,a1...am наз лін залежн якщо існує нетрив лін комбін вект що =0. Отже система a1,a1...am лін незал за означ якщо тількі трив лін комбін=0. С-ма векторів a1,a1...am лін незал якщо з того, що лін комб =0 що вона трив.

А) Критерій лінійної залежності.

С-ма вект a1,a1...am лін зал тоді і тількі тоді, коли принаймні 1 із векторів цієї с-ми лін вираж через інші.

Б) Якщо до лін залеж с-ми дописать якийсь вектор, то с-ма залиш лін залеж.

В) Якщо з лін незал с-ми викинути якийсь вектор, то с-ма буде лін незал.

Поняття рангуё

4. ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ СКІНЧЕННО-ВИМІРНИХ ПРОСТОРІВ ТА ЇХ МАТРИЦІ.

L cкінченно-вимірний лінійний простір , K - поле скалярів.

Оператор A: LL назив лінійним, якщо для будь-якого x, yL, ,K А(x+y)=А(x)+ A(y).

Теорема. L- скінченновимірний простір dimL=n, Б-базис , Б=(a1,..., an) , b1,...,bn- деяка довільна система векторів, тоді існує єдиний лінійний оператор A: LL: А(a1)= b1 ,..., А(an)= bn

Доведення: Побудуємо такий оператор : візьмемо x з L , x=1 a1 +...+n an. переконаємося, що А(x)=1 b1 +...+n bn таке відображення лінійне. Візьмемо ,K, тоді x+y=(1+1)a1+...+(n+n)an, A(x+y)=(1+1)b1+...+(n+n)bn=(1b1+...+nbn)+(1b1+...+nbn)=A(x)+A(y) оператор лінійний. Припустимо, що крім оператора А ми побудували В(a1) = b1 ,..., B(an)= bn. Покажемо, що для всякого x з L A(x)=B(x), x=1 a1 +...+n an за базисом. Подіємо B(1 a1 +...+n an)= 1B(a1)+...+ nB(an)= 1A(a1)+...+ nA(an)=A(1 a1 +...+n an)=A(x).

Візьмемо A: LL, Б=(a1,..., an). Подіємо на вектори базису A, одержимо A(a1)=11 a1 +...+n1 an; A(a2)=12 a1 +...+n2 an;...; A(an)=1n a1 +...+nn an.Коефіцієнти запишемо в стовпчик

. A - матриця лінійного оператора A у вибраному базисі. За теоремою ця матриця однозначно визначається.

Теорема про обернений оператор: A: LL має обернений оператор коли його матриця в базисі невироджена.

Доведення: Припустимо, що А має А-1,

Якщо , то A-1 в цьому ж базисі відповідає A-1.

Навпаки, припустимо, що в деякому Б матриця невироджена: det0, тоді А має А-1. Розглянемо

5.