Власні вектори та власні числа лінійних операторів .
Розглянемо скінченно-вимірний лінійний пр-р L над полем К. А :LL - лін. оп-р, якому відповідає квадратна матриця порядку n з дійсними елементами А=(аij); t - незалежна змінна. Тоді матриця А-tЕ, де Е- одинична матриця порядку n, наз. характеристичною матрицею матриці А. Визначник матриці А-tЕ буде многочленом від t степеня n: |А-tE|=A(t) - характеристичний многочленматриці А, а його корні — характеристичні корні цієї матриці. Подібні матриці мають однакові хар. многочлени. а отже і однакові хар. корені.
Хоча лін. перетворення А може задаватися в різних базисах подібними матрицями , однак всі ці матриці мають один і той же набір хар. коренів.
Нехай
B=T-1AT , тоді
B(t)=|B-tE|=|T-1AT- T-1(tE)T|=|T-1(A-tE)T|=|T-1||A-tE||T|=A(t)
Цей хар. многочлен можна наз. хар. мн-ном самого оп-ра А. Припустимо, що для А F(основного поля), та вектор b0, bL: А(b)=b. Тоді b - власний вектор оп-ра А, а - власне число.
А(b)=b виконується А(b)-b= (A-)b= b Ker(A-), де - одиничний оператор. Це показує, що множина усіх -власних векторів разом з нулем утворюють підпростір пр-ру L. Цей підпростір наз. підпр-ром -власних векторів і познач-ся V .
F - власне число оп-ра А Ker(A-)symbol 113 \f "Symbol" \s 8qsymbol 125 \f "Symbol" \s 8:
Складемо систему лін. рівнянь для обчислення ядра оп-ра (А-):
(a11 -)x1+ . . . +a1nxn=0
. . .
an1x1+ . . . +(ann -)xn=0
Визначник цієї системи () - хар. многочлен оп-ра А . Отже
1. Число - власне число лін. оп-ра А є коренем хар. Многочлена цього оп-ра і належить основному полю F . Власних чисел не може бути більше , ніж вимірність поля F.
2. Після того, як знайшли власні числа, можна визначити підпростір -власних векторів. Фіксуємо власні числа і обчислюємо базисну систему розв’язків цієї системи лін. однорідних рівнянь. Знайдені вектори утворюють базис підпростору V .
6. Лінійні оператори простої структури.
L-лін. пр-р над полем F; dim L n.
О. A:LL- оператор простої структури (ОПС), якщо L можна представити у вигляді простої суми одновимірних пр-рів інваріантних відносно А:
LL1Ln .
Т. Для оператора А слідуючі 3 умови рівносильні :
А- ОПС ;
базис Б пр-ру, що скл-ся з власних векторів;
в деякому базисі матриця оп-ра - діагональна.
Д.
(1)(2)
А- ОПС. Розглянемо розклад пр-ру L в пряму суму одновимірних підпр-рів
а1L1anLn ; 1a1nan
О. Cума є прямою, якщо вектор хR можна однозначно записати у вигляді хх1хn, xiLi.
Так як а1аn- базис пр-ру L, то вектор х однозначно записується
х1а1nan.
АаiLi так як Li - інваріантний; з іншого боку Ааiiai ai - власний вектор з власним числом i.
(2)(3)
Фіксуємо базис пр-ру L, що скл-ся з власних векторів оп-ра А:
AБ (*)
А(а1)=1а1 А(аn)=nаn
(3)(1)
Припустимо, що в деякому базисі Б:а1аn лін. оп-ру А відповідає діагональна матриця (*), тоді з визначення матриці оп-ра випливають співвідношення
Aa11a1Aannan ці вектори власні.
LL1Ln, Liai
Підпростір Li інваріантний відносно оп-ра А
Bai ABAaiAaiiaiLi.
Л. Нехай а1 ... ak власні вектори лінійного оп-ра А, що відповідаютьрізним власним значенням, тоді ці вектори лін. незал.
Д. Індукцією по числу к.
Нехай к1 А(а1)1а1, система з одного ненульового вектора є лін. незал.
Припустимо, що ми довели лему, коли число векторів к і розглянемо систему к1 векторів з різними власними значеннями. Припустимо, що деяка лін. комбінація цих векторів .
1а1как+к+1ак+1
Подіємо на це співвідношення лін. оп-ром А:
А1а1к+1ак+1
11а1к+1к+1ак+1
Помножимо перше співвідношення на к+1 і віднімемо від другого
11к+1а1ккк+1ак .
За припущенням незалежні вектори а1ак
11к+10ккк+10 1к0 к+1ак+1
власний вектор за визначенням 0 к+10.
Т. (достатня умова лін. ОПС)
Нехай А:LL dimLn, якщо характ. мн-н лін. оп-ра А має n різних коренів, то А- ОПС.
Д.
1n різні корені хар-го мн-на оп-ра А.
Ми знаємо, що з цих коренів є власним числом оп-ра А. Виберемо відповідний власний вектор а1аn. За лемою ці вектори лін. незал.
утворюють базис пр-ру L знайшли базис пр-ру L, що скл-ся з власних векторів А- ОПС.
Позначимо через V1Vk відповідні підпр-ри власних векторів.
Л. Сума підпросторів є прямою
V1VkV1Vk
V1V2Vk
Критерій лін. ОПС
А:LL dimLn є ОПС коли
1) характ. мн-н розкладається на лін. мн-ни
1k -різні
2) LV1Vk
Алгоритм ОПС:
Знаходимо матрицю оп-ра А в певному базисі Б.
Підраховуємо по матриці характеристичний мн-н (t).
Знаходимо всі корені хар. мн-на.
1k- різні корені.
Для кожного ik знаходимо базисну систему коренів, mі - кількість коренів. (A-iE)0
Якщо m1+...+mkn, то А-ОПС, якщо n, то - ні.
7. ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ ДІЙСНИХ ЕВКЛІДОВИХ ПРОСТОРІВ.
Озн евклідового простору.
L,, x,y L (x,y) , що називається їх скалярним добутком, при цьому
1)(x,y)=(y,x)
2)(x,y+z)=(x,y)+(x,z)
3)(x,y)= (x,y)
4)(x,x)0, (x,x)=0x=0, тоді простір L з заданим скалярним добутком є евклідовим простором.
Є два основні типи операторів у евклідових просторах: самоспряжені і ортогональні.
А:LL, А* називають спряженим до оператора А, якщо для довільних x,yL.(A(x),y)=(x,A(y)). Оператор А самоспряжений, якщо А=А*.А- самоспряжений, якщо в деякому ортонормованому базисі йому відповідає симетрична матриця.
Теорема про будову спряженого оператора:
Для довільного самоспряженого оператора можна вибрати ортонормований базис, що складається із власних векторів даного оператора.
Наслідок:Нехай А-квадратна матриця з дійсними елементами, якщо А- симетрична, то існує матриця Т з дійсними коефіцієнтами: Т-1АТ=D(діагональна).
Лінійний оператор А:LL називається ортогональним якщо для довільних x,yL.(A(x),А(y))=(x,y).
Квадратна матриця з дійсними елементами називається ортогональною, якщо АT=А-1
Теорема: Для А:LL (L- евклідовий простір) такі твердження еквівалентні:
1)А-ортогональний.
2)А переводить ортонормований базис в ортонормований.
3)В ортонормованому базисі оператору А відповідає ортогональна матриця.
Дов.
12:Нехай А ортогональний оператор, а Б- ортонормований базис, оскільки А зберігає довжину і кут між векторами, то базис Б переводиться оператором А в ортонормований.
Навпаки: нехай Б=a1,..., an Б’=b1,...,bn=А(a1),..., А(an).
Треба довести,що А ортогональний.
x=1 a1 +...+n an; y=1 a1 +...+n an.
(x,y)= 11+...+nn
(A(x),A(y))=(1b1+...+nbn, 1b1+...+nbn)=11+...+nn(A(x),A(y))=(x,y)
13
А