ортог. коли для довільних x,y, (x,y)=(A(x),A(y)) (x,A*A(y)) A*A=A*=A-1
AA, A*AT, A-1A-1, A-1=A* A-1=AT коли А - ортогональна.
Теорема про побудову ортогонального оператора.
Нехай А - ортогональний оператор. А:LL (L- евклідовий простір), тоді L=L1... Lk. dim Li=1 або 2. Якщо dim Li=1, то А діє на прямій Li як тотожний оператор або дзеркальне відображення. dimLi=2, то А діє на площині, як поворот на деякий кут .
Наслідок: Для довільної ортогональної матриці А існує така ортогональна матриця Т:
, де B1,..., Bkклітини розмірності 1 або 2.
Якщо dimBi=1, то Bi=I1. Якщо dimBi=2, то .
Теорема про будову невиродженого оператора на евклідовому просторі:
Нехай А:LL,А - невироджений, тоді існують такі ортогональний оператор H і самоспряжений F: A=HF.
8. Зведення квадратичних форм до канонічного вигляду.
О. Нехай L -лін. пр-р над полем R. Відображення f:LLR наз. білінійною функцією, якщо при фіксованому другому елементі f - лін. по першому, і навпаки; та виконуються:
f(x+y,z)=f(x,z)+f(y,z)
f(x,y+z)=f(x,y)+f(x,z)
f(x,y)=f(x,y)=f(x,y)
Припустимо, що пр-р - скінченно-вимірний і зафіксуємо базис Б:а1...аn.
Візьмемо х=х1а1+...+хnan
y=y1a1+...+ynan
f(x,y)=f(x1a1+...+xnan, y1a1+...+ynan)=xiyjf(ai,aj),
f(ai,aj)=aij
f(x,y)=aij xi yj - білінійна форма.
A=(aij) - матриця білін. ф-ції f в базисі Б.
О. Білін. ф-ція f(x,y) наз. симетричною, якщо f(x,y)=f(y,x) x,y.
О. f(x,x)=aij xi xj - квадратична форма одержана з симетричної білін. форми.
Матриця квадратичної форми - це матриця відповідної симетр. білін.форми у відповідному базисі. n
О. Квадратична форма bij yi iyj наз. канонічною, якщо є сумою
b11y12 + ... +bnnyn2, bij=0 при ij
Задача зведення полягає у тому, щоб за базисом Б знайти новий базис Б` такий, що дана квадратична форма в цьому базисі - канонічна.
Б`: b1 . . .bn .
Задача може бути переформульована: за симетричною матрицею А знайти невироджену матрицю F:
FТAF=B - діагональна,
F - матриця переходу до нового базису.
Нехай маємо 2 базиси:
Б: а1 ... аn x=(x1 ... xn) БFБ`
Б`: b1 ... bn x=(x1` ...xn`)
b1=11a1+ ... +n1an;
F=(ij) ....
bn=1na1+ ... +nnan;
(xi`)=F(xi)
Метод Лагранжа.
В базисі Б: а1 . . .аn квадратична функція f(x) задається квадратичною формою
аij xi xj=a11x12 + . . .+annxn2 +aij xi xj = a11x12 +2a12x1x2 + . . .+2a1nx1xn + g(x2 . . .xn)
Припустимо, що а110 , тоді
f(x)=1/a11 ((a11x12) + 2a12a11x1x2 + . . . + 2a1na11x1xn)+g(x2 . . .xn)
З першої дужки виділимо повний квадрат:
(а11х1)2 + . . .+2a1na11x1xn=(a11x1+a12x2+ . . .+a1nxn)2- t(x2 . . .xn)
f(x)=1/a11(a11x1+ . . .+a1nxn)2+c(x2 . . .xn)
y1=a11x1+ . . .+a1nxn
yi=xi, i=2, . . . ,n
H - невироджена, H-1=F- матриця переходу до нового базису.
x = (y1 . . .yn)
Б` 2
f(x) = (1/a11)y1 +c(y2 . . .yn)
Б`
Ті самі міркування проводимо n разів .Якщо а11=0 , але аii0 ,тоді те ж
саме відносно змінної хi.
Якщо ж аii=0 , i=1, . . . ,n ,то
х1=y1+y2
x2=y1-y2
x3=y3
. . .
xn=yn
Будемо вважати , що а120 , тоді в новому базисі
f(x)=2a12x1x2 + . . . +2a1nx1xn + . . .=2a12(y1+y2)(y1-y2)+2a13(y1+y2)y3+ . . .=
=2a12y12 - 2a12y22 +h(y1 . . .yn)
Маємо перший випадок.
Теорема Якобі.
Якщо головні мінори 1 . . . n матриці квадратичної форми0 , то новий базис , в якому ця квадратична форма має вигляд
(1/1)y12 + (1/2)y22 + . . . +(n-1/n)yn2
9. Основна теорема про ділимість многочленів.
Зафіксуємо числове поле F. Візьмемо змінну х і позначимо F[x] множину усіх многочленів з коефіцієнтами із поля F. F[x] - кільце многочленів над полем F: f1,f2F[x] f1-f2F[x], f1+f2F[x], f1*f2F[x].
О. Р(х) ненульового степеню з кільця F[x] наз. незвідним, якщо з того,що Р(х)=f1(x)f2(x), де f1(x), f2(x)F[x] слідує, що або степінь f1(x)=0 або степінь f2(x)=0.
О. Р1 (х) і Р2(х) - асоційовані , якщо Р1(х)Р2(х) Р2(х)=P1(x)*f(x) і Р1(х)const, f(x)=const, тобто степінь f(x) =0 .
Л. Якщо незвідний многочлен р(х) f(х)g(х), то р(х)f(х) або р(х)g(х)
Д.
Якщо р(х) не g(x), то вони мають бути взаємнопростими. За наслідкомз теореми про НСД: для взаємнопростих g(x), p(x) існують многочлени a(x), b(x): 1=a(x)p(x)+b(x)g(x). Помножимо співвідношення на f(x): f(x)=a(x)f(x)p(x)+b(x)(f(x)g(x)). Оскільки 1-ий доданок ділиться на р(х), 2-ий ділиться на р(х) за умовою, то звідси р(х)f(x).
Т. Кожен многочлен f(x) степені >0 , f(x)F[x] можна розкласти у добутокнезвідних многочленів. Таке розкладання однозначне з точністю до порядку множників та констант.
Д.
Доведемо існування розкладу:
Розглянемо f(x). Якщо він незвідний, то розкладати не треба. Інакше, можна розкласти на добуток многочленів меншого степеню f(x)=f1(x)f2(x). Якщо вони незвідні, то вже маємо розкладання. Ті, які є звідними розкладаємо в добуток многочленів нижчого степеню. На деякому кроці знайдемо f(x)=p1(x)...pk(x).
Це саме можна зробити за допомогою індукції. Для многочленів 1-го степеня це очевидно. Припустимо, що довели для всіх многочленів степеня n-1. Многочлен степеня n можна розкласти на многочлени степеня n-1 та 1, для яких розкладання на незвідні вже доведене.
Доведемо єдиність розкладу.
Припустимо, що існує ще один розклад:
p1(x)p2(x)...pk(x)=q1(x)q2(x)...qt(x), kt і ці розклади можуть відрізнятися порядком співмножників та констант. Беремо незвідний p1(x)q1(x)...qt(x), тоді за лемою: p1(x) один із співмножників q. Змінивши порядок можна вважати, що p1(x) q1(x), вони - асоційовані, тобто q1(x)=1p1(x).
Скоротимо на p1(x): p2(x)...pk(x)=1q2(x)...qt(x)
Ті ж міркування дають:
1=1...kqk+1...qt, але це не можливо, так як kt; отже qi=ipi, (i=1,...,k)
10. ЖОРДАНОВІ НОРМАЛЬНІ ФОРМИ МАТРИЦЬ.
Жорданова нормальна форма матриць.
Хай , .Поняття Жорданової клітини: .
Приклад: ,
Що означає , що матр. має жорданову норм. форму :
Тверження: Дов. компл. кв. матр. А подібна матр. , що має нормальну Жорданову форму. Тобто ( компл. матр.) , де B - має жорданову нормальну форму.B-Жорд. норм. форма матр.А.
Твердження: розміру n* n. подібні коли вони мають одн. норм. Жорд. форми(НЖФ).
Зауваження: