Програма з математики на базі старшої школи

Програма з математики для вступників до вищих навчальних закладів складається з трьох розділів. Перший розділ містить перелік основних математичних понять і фактів, якими повинен володіти вступник (уміти правильно їх використовувати при розв’язанні задач, посилатися на них при доведенні теорем). У другому – вказано теореми, які потрібно вміти доводити. Зміст теоретичної частини іспитів повинен формуватися з цього розділу. У третьому розділі перелічено основні математичні вміння і на-вички, якими має володіти вступник.

На іспиті з математики вступник до вищого навчального закла-ду повинен показати:

а) чітке знання означень, математичних понять, термінів, фор-мулювань правил, ознак, теорем, передбачених програмою, уміння доводити їх;

б) уміння точно і стисло висловити математичну думку в усній і письмовій формі, використовувати відповідну символіку;

в) впевнене володіння практичними математичними вміннями і навичками, передбаченими програмою, уміння застосовувати їх при розв’язанні задач і вправ.

І. Основні математичні поняття і факти. Арифметика, алгебра і початки аналізу

1. Натуральні числа і нуль. Читання і запис натуральних чисел. Порівняння натуральних чисел. Додавання, віднімання, множення та ділення натуральних чисел.

2. Подільність натуральних чисел. Дільники і кратні натураль-ного числа. Парні і непарні числа. Ознаки подільності на 2, 5, 3, 9, 10. Ділення з остачею. Прості і складені числа. Розкладання нату-рального числа на прості множники. Найбільший спільний дільник, найменше спільне кратне.

3. Звичайні дроби. Порівняння звичайних дробів. Правильний і неправильний дріб. Ціла та дробова частина числа. Основна влас-тивість дробу. Скорочення дробу. Середнє арифметичне кількох чисел. Основні задачі на дроби.

4. Степінь з натуральним і раціональним показником. Ариф-метичний корінь та його властивості.

5. Логарифми та їх властивості. Основна логарифмічна тотож-ність.

6. Одночлен і многочлен. Дії над ними. Формули скороченого множення.

7. Многочлен з однією змінною. Корінь многочлена (на прикладі квадратного тричлена).

8. Поняття функції. Способи задання функції. Область визначен-ня, область значень функції. Функція, обернена до даної.

9. Графік функції. Зростання і спадання функції, періодичність, парність, непарність функції.

10. Достатня умова зростання (спадання) функції на проміжку. Поняття екстремуму функції. Необхідна умова екстремуму. Най-більше і найменше значення функції на проміжку.

11. Означення і основні властивості функцій: лінійної y = kх + b, квадратичної у = ах2+bх+ с, степеневої у = xn (п Є Z), показ-никової у = aх, а > 0, логарифмічної, тригонометричних функцій (y = sіпх, у = соsх, y = tgх).

12. Рівняння. Розв’язування рівнянь, корені рівняння. Рівно-сильні рівняння. Графік рівняння з двома змінними.

13. Нерівності. Розв’язування нерівностей. Рівносильні нерів-ності.

14. Системи рівнянь і системи нерівностей. Розв’язування сис-тем. Корені системи. Рівносильні системи рівнянь.

15. Арифметична та геометрична прогресії. Формула n-го члена і суми п перших членів прогресій.

16. Синус і косинус суми та різниці двох аргументів (формули).

17. Перетворення в добуток сум sin ± sin та cos ± соs.

18. Означення похідної, її фізичний і геометричний зміст.

19. Похідні суми, добутку, частки і функцій y = kх+ b, у = sіпх; у = соsх; у = tgx; у = хn, де п – натуральне число.

Геометрія

1. Пряма, промінь, відрізок, ламана; довжина відрізка. Кут, ве-личина кута. Вертикальні та суміжні кути. Паралельні прямі. Рів-ність і подібність геометричних фігур. Відношення площ подібних фігур.

2. Приклади перетворення геометричних фігур, види симетрії.

3. Вектори. Операції над векторами.

4. Многокутник. Вершини, сторони, діагоналі многокутника.

5. Трикутник. Медіана, бісектриса, висота трикутника, їх влас-тивості. Види трикутників. Співвідношення між сторонами та ку-тами прямокутного трикутника.

6. Чотирикутник: паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат, трапеція; їх основні властивості.

7. Коло і круг. Центр, діаметр, радіус, хорди, січні кола. Залеж-ність між відрізками у колі. Дотична до кола. Дуга кола. Сектор, сегмент.

8. Центральні і вписані кути; їх властивості.

9. Формули площ геометричних фігур: трикутника, прямокут-ника, паралелограма, квадрата, ромба, трапеції.

10. Довжина кола і довжина дуги кола. Радіанна міра кута. Площа круга і площа сектора.

11. Площина. Паралельні площини і площини, що перетина-ються.

12. Паралельність прямої і площини.

13. Кут прямої з площиною. Перпендикуляр до площини.

14. Двогранні кути. Лінійний кут двогранного кута. Перпенди-кулярність двох площин.

15. Многогранники. Вершини, ребра, грані, діагоналі многогранника. Пряма і похила призми. Піраміда. Правильна призма і правильна піраміда. Паралелепіпеди, їх види.

16. Тіла обертання: циліндр, конус, сфера, куля. Центр, діаметр, радіус сфери і кулі. Площина, дотична до сфери.

17. Формули площі поверхні і об’єму призми, піраміди, циліндра, конуса.

18. Формули площі поверхні сфери, об’єму кулі та її частин (кульового сегмента і сектора).

ІІ. Основні формули і теореми. Алгебра і початки аналізу

1. Функція y = ах + b, її властивості та графік.

2. Функція y = k/х, її властивості та графік.

3. Функція y = аx2 + bх + с, її властивості та графік.

4. Формула коренів квадратного рівняння.

5. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.

6. Властивості числових нерівностей.

7. Логарифм добутку, степеня і частки.

8. Функції y = sіпх і у = соsх, у = tgx, їх означення, властивості і графіки.

9. Корені рівнянь sіnх = a, соsх = а, tgх = а.

10. Формули зведення.

11. Залежність між тригонометричними функціями одного й того ж аргументу.

12. Тригонометричні функції подвійного аргументу.

13. Похідна суми, добутку і частки двох функцій, степеневої функції.

14. Похідні тригонометричних функцій, показникової та лога-рифмічної функцій.

15. Рівняння дотичної до графіка функції.

Геометрія

1. Властивості рівнобедреного трикутника.

2. Властивості точок, рівновіддалених від кінців відрізка.

3. Ознаки паралельності прямих.

4. Сума кутів трикутника. Сума внутрішніх кутів опуклого мно-гокутника.

5. Ознаки паралелограма.

6. Коло, описане навколо трикутника.

7. Коло, вписане в трикутник.

8. Дотична до кола та її