Графіки функцій, що містять абсолютні величини.

Пропоную матеріал для учнів 10-11-х класів, який стосується побудови графіків функцій, що містять абсолютні величини.

Ця тема майже не висвітлена в шкільних

підручниках, але завдання такого типу часто зустрічаються на вступних іспитах до вищих навчальних закладів.

Починаючи з XVIII ст., одним із основних понять математики є поняття функції. Ідею функціональної залежності використано вже в перших співвідношеннях між математичними величинами, у перших правилах дій над числами, у перших формулах для знаходження площ та об'ємів різних фігур.

Звернення до функціональної залежності між величинами бере початок в XVII ст. у зв'язку з проникненням в математику змінних. У працях Р.Де-карта, П.Ферма, І.Ньютона і Г.Лейбніца поняття функції має інтуїтивний характер. Чіткого означення функції в XVII ст. ще не було. Підґрунтя для першого означення функції створив Р.Декарт, який у своїх працях систематично розглядав лише ті криві, які можна записати з допомогою алгебраїчних рівнянь. Поступово поняття функції стало ототожнюватися з поняттям аналітичного виразу — формули.

Термін «функція» Г.Лейбніц уперше ввів 1673 року, а вираз «функція від x» використовували як Г.Лейбніц, так і Й.Бернуллі. Починаючи з 1698 р., Г.Лейбніц ввів також терміни «змінна» і «константа».

Означення функції було вперше дано в 1718 р. одним з учнів Г.Лейбніца, видатним швейцарським математиком Й.Бернуллі. Згодом Л.Ейлер дав більш загальне означення функції.

Розв'язанню суперечки між Л.Ейлером, Ж.Д'Алам-бером, Д.Бернуллі та іншими вченими XVIII ст. з приводу того, що потрібно розуміти під функцією, спри-яв французький математик Ж.Фур'є (1768—1830). Він записав перші приклади функцій, які задані на різних проміжках різними аналітичними виразами. З праці Ж.Фур'є випливало, що будь-яка крива може бути записана у вигляді єдиного аналітичного вира-зу, а також існують криві, записані аналітичним ви-разом, які мають розриви.

У своєму «Курсі аналізу», опублікованому в 1821 p., французький математик О.Коші обґрунтував вис-новки Ж.Фур'є. Таким чином, стало зрозуміло, що доводиться користуватися і такими функціями, для означення яких важко й навіть неможливо обме-житися одним лише аналітичним апаратом. Отже, потрібно розширити поняття функції.

У 1834 р. М.Лобачевский, розвиваючи ейлереве означення функції, писав: «Загальне поняття ви-магає, щоб функцією від х називалося число, яке задається для кожного х і разом з ним поступово змінюється. Значення функції може бути дано або аналітичним виразом, або умовою, що дає мож-ливість перебрати всі числа і вибрати одне з них, або залежністю, яка може існувати і залишатися невідомою...»

З досвіду викладання математики відомо, що під час вивчення функцій і побудови їх графіків, якщо треба оперувати виразами, що містять абсолютні величини, і досліджувати їх, учні роблять помил-ки. Пропоную добірку вправ для формування в учнів відповідних умінь і навичок з цієї теми та розвитку в них творчого математичного мислення, а також інтересу до математики.

1. Побудувати графік функції

Розв'язання

, де п — довільне ціле число.

Функція визначена для всіх значень х, крім

Запишемо дану функцію у вигляді:

Графік функції зображено на малюнку.

2. Побудувати графік функції

Розв'язання

Функція визначена для всіх значень х, крім

, де п — довільне ціле число.

Запишемо функцію у вигляді:

Графік функції зображено на малюнку.

3. Побудувати графік функції

Розв'язання

Очевидно, що

Графік функції зображено на малюнку.

4. Побудувати графік функції

Розв'язання

Оскільки функція визначена тільки для х = 0 , то у = 1.

Тому графіком функції буде точка (0; 1).

5. Побудувати графік функції

Розв'язання

Враховуючи область визначення функції ,

, запишемо її у вигляді: у = х -1. Графік функції зображено на малюнку.

6. Побудувати графік функції

Розв'язання

Функція визначена для всіх х, крім

де п — довільне ціле число. Тоді маємо:

Графік функції

Графік функції зображено на малюнку.

зображено на малюнку.

7. Побудувати графік функції

Розв'язання

Функція визначена для всіх х, крім х = 0 . Запишемо функцію у вигляді:

Графік функції побудовано на малюнку.

8. Побудувати графік функції

Розв'язання

запишемо її у вигляді:

Враховуючи область визначення функції

Графік функції зображено на малюнку.

9. Побудувати графік функції

, де

Розв'язання—

довільне ціле число.

Функція визначена для всіх х, крім

Після перетворень маємо:

Графік функції зображено на малюнку.

Побудувати графік функції

Розв'язання

Перетворимо дану функцію

, де

Функція визначена для всіх, крім довільне ціле число.

Графік функції зображено на малюнку.

12. Побудувати графік функції

Розв'язання

Функція визначена для всіх х, крім — довільне ціле число. Отже, маємо:

Графік функції зображено на малюнку.

13. Побудувати графік функції

Розв'язання

Перетворимо спочатку показник степеня:

якщо

якщо

якщо

Отже, функція має вигляд:

Графік функції зображено на малюнку.

14. Побудувати графік функції

Розв'язання

функція визначена для всіх х, крім х = 0 . Використавши основну логарифмічну тотожність, дістанемо:

Графік функції зображено на малюнку.

Вправи

Побудувати графіки функцій:

Література

Шваєцький М.Г. Абсолютні величини в шкільному курсі математики. — К.: Рад. шк., 1967.

Рудник А.Е., Клюева ЛА., Мосолова М.С. Сборник за-дач по элементарной математике. — М.: Наука, 1974.

Горделадзе Ш.Г., Кухарчук М.М., Яремчук Ф.П. Збірник конкурсних задач з математики. — К.: Вища шк., 1988.

Сборник конкурсных задач по математике для поступаю-щих во вузы Учебн. пособие / Под ред. М.И.Сканави. — М.: Высш. шк., 1980.