Найбільш ймовірна довжина черги дорівнює, очевидно, 2. Дисперсія

d = (i – n0)2 Pi = 2.22 .,1 + 1.22..2 + .22..3 + .82..25 + 1.82..1 +

+ 2.82..05= 1.307.

А середнє квадратичне відхилення

= d = 1.14.

Для полегшення побудови моделюючих програм використовують алгоритмічні мови, що орієнтовані спеціально на задачі моделювання (Симула, Симскрипт, Сленг і інші).

Аналітичні методи дозволяють представити характеристики, що нас цікавлять, у вигляді функцій від вихідних характеристик. Нажаль, прості аналітичні вирази для такого роду функцій удається отримати лише у простіших випадках.

Розглянемо приклад аналітичного розрахунку однієї із простіших систем масового обслуговування. Нехай потік вхідних вимог є стаціонарним пуасоновським з інтенсивністю .

Довжина обслуговування задана показовим законом:

РТ В = е-В.

Дисципліна обслуговування передбачає наявність черги, що обробляється у порядку надходження вимог. Шукані величини: довжина черги n (випадкова величина) і коефіцієнт корисної дії , тобто середній відносний час, на протязі якого система зайнята обслуговуванням.

Суворо кажучи, для відповіді на ці питання необхідно знати стан системи. (тобто довжину черги та ознаку, чи зайнята вона обслуговуванням, чи ні) у початковий момент часу. Для цього доводиться наявність у систем масового обслуговування якості ергодичності. Суть цієї ознаки полягає у тому, що для моментів часу, достатньо віддалених від початкового, впливом початкового стану системи можна нехтувати. Для довільної ергодичної системи шукається усталений (випадковий) розв’язок, до котрого вона прямує при t .

Переходячи до розв’язку задачі, треба відмітити, що стан системи можна характеризувати лише одним числовим показником – довжиною черги n, якщо вважати, що випадок n=0 відповідає нульовій черзі при зайнятості системи, а випадок n=-1 - нульовій черзі при вільній (не зайнятій обробкою) системі. Замітимо далі, що, якщо система на протязі часу t була зайнята обробкою деякої вимоги, то ймовірність закінчення обробки у проміжку t0, t0 + t є умовна ймовірність

.

Для показового розподілу е-t величина у чисельнику дорівнює (з точністю до безкінечно малих більш високого, ніж t, порядку) еt0t, а у знаменнику - еt0. Таким чином, ймовірність закінчення вже початого обслуговування у довільний безкінечно малий проміжок часу дорівнює t та не залежить від часу початку обслуговування.

Позначимо через pi(t) ймовірність того, що система, що розглядається, у момент часу t знаходиться у і-ому стані (і=-1,0,1,2,...). Обчислимо ті ж ймовірності у близький момент часу t + t. Для того, щоби система в момент часу t + t опинилася у стані –1, мається дві можливості. Перша полягає в тому, що система була у стані (-1) в момент t і у проміжку часу від t до t+ t не прийняла жодної нової вимоги. Ймовірність такої можливості

р-1(t) (1 - t),

оскільки ймовірність виникнення нової вимоги за елементарний час t дорівнює t для потоку, що розглядається. Друга можливість полягає в тому, що у момент часу t система знаходилася у стані 0, а за наступний відрізок часу t закінчилося обслуговування вимоги, що оброблялась, та не надійшло нової вимоги. Ймовірність такої можливості

р0 (t)t(1 -t) р0 (t)t.

Об’єднавши обидві ці (незалежні) можливості, отримаємо співвідношення:

p-1(t + t) = p-1(t)(1- t) + p0(t) ,

або

= p0(t) - p-1(t).

Переходячи до границі при t 0, отримаємо диференційне рівняння:

=p0(t)– p-1(t). (1)

Для стану і -1 розглянемо три випадки:

В момент часу t стан системи був і–1, а за час t прийшла нова вимога та не закінчилася обробка старої. Ймовірність такої можливості

pi-1(t) t(1 - t) pi-1(t) t.

В момент часу t система знаходилася у стані і+1, за час t закінчилася обробка старої вимоги і не прийшла нова вимога. Ймовірність

pi-1(t) t(1 - t) pi+1(t) t.

В момент часу t система знаходилася у стані і, a за час t не закінчилася обробка старої вимоги і не прийшла нова вимога. Ймовірність

pi(t)(1 - t)(1 - t) ) pi(t) - ( +)pi(t) t.

Об’єднуючи три випадки, отримуємо диференційне рівняння:

= pі-1(t) – ( +) pi(t)+ рі+1(t) (2)

Рішення отриманої (безкінечної) системи диференційних рівнянь (1) і (2) повністю визначає (при завданні початкового стану) наступну поведінку системи. Користуючись якістю ергодичності системи (справедливому при ), будемо шукати лише усталений розв’язок, для якого, як не важко зрозуміти, рі = const і похідні (i=-1,0,1,2,…) повинні обертатися в нуль.

В результаті маємо систему звичайних алгебраїчних рівнянь:

p0 - p-1 = 0; pi -1 - ( + )pI + pi+1 = 0 (i=0,1,2,…)...................(3)

Ця система дозволяє по p-1 знайти p0, по цим двом величинам – р1, по величинам р0 і р1 – величину р2 і т.д. Якщо позначити через r величину , то рішення системи (3) запишеться у вигляді: рі = rі+1 р-1 (і = 0,1,2,...).

Для визначення значення р-1 скористуємось тим очевидним міркуванням, що сума ймовірностей всіх станів

рі = р-1 rі+1 = р-1

повинна дорівнювати 1.

Звідси

р-1 = 1 – r; (4)

рі = rі+1 (1 – r). (5)

При виведенні співвідношень (4) – (5) припускаємо, що r = 1.

У протилежному випадку отримані для ймовірностей значення призводять до абсурду.

Цей результат легко зрозуміти, якщо згадати, що є середня тривалість обслуговування, а - середня величина інтервалів часу між моментами надходження чергових вимог. За r 1 перша величина більше другої, і, як легко зрозуміти, система не буде справлятися з обробкою вимог, що поступають, черга буде необмежено зростати, і прагнення до якогось усталеного стану не буде мати місця.

Величина 1 – р-1 = r є