= r = .

Ймовірність того, що довжина черги буде менше k, дорівнює:

ri+1(1 – r) = (1 – r) = rk..

Звідси виходить, що при намаганні “вижати” з системи великий к.к.д., неминуче буде зростати черга. Так, при =.9 ймовірність того, що в черзі знаходиться не менше п’яти вимог,

.95 = .59.

Середня довжина черги у геометричному розподілі

і r i+1 (1 – r) = .

При r=.9 призводить до значення l=.9. Таким чином, прагнення до максимального завантаження обслуговуючих приладів неминуче веде до росту черги. При розрахунку систем масового обслуговування необхідно знаходить розумний компроміс між цими суперечливими тенденціями.

Необхідність пошуку такого компромісу – одна з особливостей систем з випадковими потоками вимог, що відрізняються від регулярних систем, що ми вже розглянули раніше, де у принципі може бути досягнути який завгодно високий к.к.д. використання наявних ресурсів.

Для рішення задач на оптимум у випадку систем масового обслуговування необхідно перш за все задатися ціною а збитків (за одиницю часу) в результаті перебування вимоги в системі. Як показано в теорії, в розглянутій вище простішій задачі масового обслуговування ймовірність того, що час перебування вимоги в системі замкнений у безкінечно малому інтервалі [t, t + dt], є ( - )е-( - ) t dt. Звідси середній час перебування вимоги в системі

t(- )e-( - )t dt = .

За одиницю часу в середньому виникає вимог. Загальні втрати у результаті затримок в системі будуть в середньому дорівнювати

a = .

Зменшити ці втрати можна лише за рахунок нарощування обслуговуючих потужностей, сумарна пропускна здібність яких обернено пропорційна r =, тобто к.к.д їх використання. Питомі витрати, віднесені на одиницю часу роботи системи, що необхідні для створення та експлуатації цих потужностей, дорівнюють , де с – деякий постійний коефіцієнт.

Сумарна ціна обслуговування та виникаючих в результаті його втрат

f = + .

Легко перевірити, що мінімум цієї функції досягається при r=. Це є оптимальний к.к.д системи масового обслуговування, що розглядалася.

Запитання для роздумів, самоконтролю, повторення

Лекція 5. Методи математичної статистики розв’язку задач в автоматизованих системах; методи статистичного контролю

Статистичний контроль представляє собою метод контролю якості виробів у випадку, коли з тих чи інших причин такий контроль не може бути застосованим до кожного виробу, та про якість всіх виробів необхідно судити, контролюючи лише деяку їх частину. Сукупність всіх виробів називається генеральною сукупністю, а частина, що піддається контролю, - вибірковою сукупністю або просто вибіркою.

Припустимо, що об’єктом контролю є деяка неперервна величина x (розмір, вага і т.д.) У результаті вимірів величини x для вибіркової сукупності отримаємо ряд значень цієї величини x1,x2,…,xn. Якщо вибірка була випадковою та достатньо представницькою, то вибіркове середнє

xЮ=.

Можна прийняти в якості наближеного значення генеральної середньої xЮ (тобто середнього значення параметра для всіх виробів генеральної сукупності).

Окрім вибіркової середньої обчислюється також вибіркова дисперсія у2, що дорівнює квадрату середньої квадратичної похибки у:

у2 = (xi – xЮ )2.

Вибіркова дисперсія являє собою наближення дисперсії (тобто міри розкиду значень) генеральної сукупності (хоча її математичне очікування дещо менше). Вона дозволяє також оцінити дисперсію у2xЮ і середнє квадратичне відхилення уxЮ вибіркової середньої від генеральної середньої. Для так званої безповторної вибірки при числі елементів генеральної сукупності, що дорівнює N, використовується формула

уxЮ =. (1)

При малій величині відношення використовується наближена формула:

уxЮ . (2)

Безповторна вибірка виконується наступним чином. Із генеральної сукупності випадковим чином вибирається перший виріб, далі із множини, що залишилася, також випадковим чином – друге і т.д. Другий тип вибірки (що називається повторною) отримується, якщо після вибірки та вимірювання чергового виробу його знову повертають у генеральну сукупність, зберігаючи таким чином за ним шанс бути вибраним повторно. Для повторної вибірки

уxЮ = . (3)

Формули (1) – (3) дозволяють оцінити степінь достовірності визначення генеральної середньої xЮ. При достатньо великих вибірках (на практиці для n>20) ймовірність PД того, що вибіркова середня буде відрізнятися (в ту чи іншу сторону) менше, ніж на Д(Д>0), визначається по формулі:

P=. (4)

Вираз, що стоїть у правій частині формули (4), що являється функцією від , прийнято позначати Ф(). У підручниках з теорії імовірностей звичайно наводяться таблиці значення функції Ф(Х), так що для підрахунку ймовірності Рможна не обчислювати інтеграл, а скористатися цими таблицями. Для малих вибірок в курсах з математичної статистики приводяться спеціальні таблиці, що показують залежність Р від та від числа n елементів вибірки.

Так, наприклад, при n=10:

= 1.83 pД =.9

= 3.25 pД =.99

= 4.78 pД =.999.

Використаємо отримані результати для наступного прикладу. Нехай в результаті без повторної випадкової вибірки 10-ти виробів із 1000 отримані наступні значення параметра х, що контролюється:

х1 = 1.01; х2 = .98; х3 = 1.02; х4 = 1.00; х5 = .99; х6 = .97; х7 = 1.02; х8 = 1.01;

х9 = .98; х10 = 1.02.

Вимагається на підставі зробленої вибірки встановити інтервал, в якому з ймовірністю 0,99 замкнене середнє значення параметра х для 1000 виробів. Вибіркове середнє

xЮ = хі = 1,

вибіркова дисперсія

у2 = (.012+.022+.022+ 0+.012+ .032+ .,022+0.012+.022+.022)=(1 + 4 +4 +1 + 9 + 4 + 1 +4 + 4) = 3.2.10-4.

у =.018. Середнє квадратичне відхилення вибіркової середньої

уxЮ = = .006.

На підставі табличного значення, що приведене вище, робимо висновок, що із ймовірністю 0,99 генеральна середня відрізняється від одиниці (тобто вибіркової середньо) не більш, ніж на

3.25уxЮ = 3.25 . .006 .02.

Великий інтерес