д1 = .01; д2 = .02; д3 = .02; д4 = 0; д5 = .01; д6 = .03;

д7 = .02; д8 = .01; д9 = .02; д10 = .02.

Вибіркове середнє похибки

уЮ = дi = .016.

Вибіркова дисперсія похибки

уЮ2д = (.0062+ .0042 + .0042 + .0162 + .0062 + .0142 + .0042 + .0062 + .0042 + .0042) = =10 -7(36 + 16 + 16 +256 + 36 + 195 + 16 + 36 + 16 +16) = 64.10-4.

Вибіркове середнє квадратичне відхилення уЮд =.008. Середнє квадратичне відхилення вибіркової середньої

уд= = .003.

При Д = 4.78 уд =.013 на підставі наведеного вище табличного значення РД= .999. Таким чином, із ймовірністю не менше, ніж .999 можна стверджувати, що середня похибка в генеральній сукупності не перевищує дЮ + Д =.016 + .013 = .029.

Третій приклад зв’язаний з оцінкою долі браку Р в генеральній сукупності. Припустимо, що за технічними умовами виріб бракується, якщо відхилення параметру х від 1 більше або дорівнює 0,03. В нашому прикладі при такій умові бракується лише один (шостий) виріб зробленої вибірки. Доля браку у вибірці складе 0,1 (10%). Величину уд можна трактувати як середнє величин, що дорівнюють 0, якщо і–тий виріб придатний, та 1, якщо і–тий виріб бракується.

Дисперсія у2 = (r2 + r2 + r2 + r2 + r2 + (1 – r2) + r2 + r2 + r2 + r2).

Легко зрозуміти, що при довільній вибірці ця дисперсія виражається формулою:

у2 = (0 – r)2(1-r) + (1 –r)2r = r(1 –r).

І так, при розрахунку долі браку у вибірці

у2 = r(1 –r). (5)

У нашому випадку у2 = .1..9 = .09, звідки у = .3. Середнє квадратичне відхилення

ус = = .1.

При Д = 3.25 ус ? .3РД = .99. Таким чином, із ймовірністю, що не менше ніж .99, можна стверджувати, що доля браку у генеральній сукупності не перевищить r + Д = .1 + .3 = .4. Щоби покращити оцінку долі браку в генеральній сукупності, треба збільшити розмір вибірки.

В якості четвертого прикладу визначимо розмір вибірки, при якій із заданою ймовірністю .99 можна стверджувати, що доля браку у вибірці відрізняється від долі браку в генеральній сукупності не більше, ніж на .01 (тобто на 1%).

Труднощі задачі полягають у тому, що зараннє невідома величина дисперсії вибірки у2. Для розв’язку задачі треба оцінити величину у2 зверху. Якщо немає ніякої іншої оцінки, то із формули (5) легко видно, що максимум у2 = .25 при r =.5. В ряді випадків на практиці цю оцінку можна покращити. Припустимо, наприклад, що доля браку r не може перевищити .1. Тоді із формули (5) маємо у 2 0.1 . 0.9 =.09 та у .3.

При без повторній вибірці n елементів із N середнє квадратичне відхилення ус долі браку у виборці від долі браку в генеральні сукупності знайдемо по формулі (1):

ус = .

Оскільки вибірка повинна бути, очевидно, великою, для оцінки ймовірності Р можна скористатися формулою (4). По таблиці значень Ф(х) знаходимо, що для РД = .99, Д = 2.6. ус. Але нам задано, що Д .01. Звідси отримаємо:

2.6 0,01,

6,76.10 4 2.

Якщо вважати .3, то нерівність буде виконаною, якщо

6.76.104..09 ? 6.103.

Тоді n(1 + ) 6000 + 1.

Одиницею у правій частині можна нехтувати, та що остаточно маємо

N .

При N=1000 n?860, тобто іншими словами, вибірка повинна практично охоплювати всю генеральну сукупність. Однак, як показує отримана формула, при дуже великих n, наприклад N = 600 000, для досягнення точності оцінки, що вимагається, виявляється достатньою вибірка 6000 елементів, що може складати скільки завгодно малу долю генеральної сукупності.

При проведенні вибірок для статистичного контролю надзвичайно важливим є дотримування умови випадковості вибірки. Справа в тому, що будь-яка регулярність вибірки, наприклад, вибірка кожного десятого виробу, що сходить зі станка, може співпадати з тим чи іншим виробничим ритмом та викривити результат. Так може статися, наприклад, якщо кожний десятий виріб випускається на початку зміни або після заміни ріжучого інструменту і т.п.

Для досягнення повної випадковості вибірки можуть вживатися спеціальні датчики випадкових чисел. У простішому випадку такий датчик генерує випадкову послідовність нулів та одиниць, в якій одиниці зустрічаються із заданою (регульованою у випадку необхідності) частотою. Зміна показань датчика управляється потоком виробів. Якщо в момент проходу якогось виробу мимо датчика його показання дорівнювало одиниці, виріб іде на контроль, при нульовому показу датчика виріб у вибірку не потрапляє й не контролюється.

Інший метод – використання спеціальних таблиць випадкових чисел. Якщо, наприклад, є таблиця 4-значних випадкових чисел, і необхідно створити випадкову вибірку, скажемо 60 виробів із 10 000, то достатньо відібрати вироби, порядкові номера яких будуть співпадати з першими 60 числами таблиці.

У ряді випадків генеральна сукупність істотно ділиться на частини: із загального числа N виробів N1 виробів випущено на першому станку, N2 – на другому і т.д. Тоді середні xЮi та дисперсії уЮ2i беруться по вибіркам із кожної частини, а загальна середня xЮ і дисперсія середньої уЮ2 знаходяться по формулам:

xЮ =

уЮ2 =.

Статистична перевірка статистичних