визначена величина x1, приймається гіпотеза H, що перевіряється, якщо величина x1 лежить в області R0m, відхиляється ця гіпотеза, якщо x1 лежить в R11, і виконується друге спостереження, якщо x1 лежить в R1. Якщо приймається третє рішення та виконується друге спостереження x2, то гіпотеза H приймається, відхиляється або виконується наступне, третє, спостереження в залежності від того, в яку область потрапляє вибірка (x1, x2): в R02, в R12 або в R2. Якщо вибірка (x1,x2) потрапляє в область R2, то виконується третє спостереження x3, після чого знову приймається одне з трьох можливих рішень в залежності від того, в яку область потрапляє вибірка (x1,x2,x3): в R03, в R13 або в R3, - і т. д. Цей процес закінчується тоді (і тільки тоді), коли приймається або перше, або друге рішення.
Ефективність послідовного критерію.
Будемо розглядати два значення параметра И, наприклад И0 і И1. Нехай гіпотеза H0 заключається в тому, що И=И0, а означає гіпотезу И=И1. Будемо називати гіпотезу H0 нульовою гіпотезою, а H1 - конкуруючою гіпотезою. Із довільною послідовною перевіркою гіпотези H0 відносно гіпотези H1 зв’язані два числа б і в, що заключні між нулем та одиницею. Якщо істинна гіпотеза H0, то імовірність того, що допущена помилка першого роду (тобто відхилена гіпотеза H0 ), буде дорівнювати б, а якщо істинна гіпотеза H1, то імовірність того, що допущена помилка другого роду (тобто приймається гіпотеза H0), буде дорівнювати в. Будемо називати два послідовних критерії рівносильними, якщо величини б і в, що зв’язані з одним критерієм, дорівнюють відповідним величинам бґ і вґ, що зв’язані з другим критерієм.
Визначення послідовного критерію відношення імовірностей.
Нехай f(x,И) означає розподіл випадкової величини, що розглядається. Нехай, далі, H0 являється гіпотезою про те, що И = И0, і H1 - гіпотеза про те, що И = И1; отже, розподіл x задається виразом f(x,И0), коли справедлива H0, і виразом f(x,И1), коли справедлива H1.
Позначимо послідовні спостереження x через x1, x2, x3,... Розглянемо два випадки: 1) розподіл x неперервний, 2) x має дискретний розподіл. Бажано об’єднати ці два випадки, вважаючи, що “щільність імовірності” у випадку неперервного розподілу має бути заміненою “імовірністю” в дискретному випадку. Враховуючи це, часто можна формулювати дискретний і неперервний випадки у вигляді єдиного ствердження.
Для довільного додатного цілого числа m імовірність отримання вибірки x1,…,xm, визначається виразом
p1m = f(x1,И\) … f(xm,И1),
коли справедлива гіпотеза H1, і виразом
p0m = f(x1,И0) … f(xm,И0),
коли справедлива гіпотеза H0.
Послідовний критерій відношення імовірностей для перевірки гіпотези H0 відносно H1 визначається наступним чином. Вибираються дві додатні величини А і В (А >В). На кожній стадії експерименту (в m–му випробування для довільного цілого значення m) обчислюється відношення імовірностей . Якщо
В < < А,
то експеримент продовжується і виконується додаткове спостереження. Якщо
? А,
то процес закінчується відхиленням гіпотези H0 (приймається H1). Якщо
? В,
то процес закінчується прийняттям гіпотези H0 .
Постійні А і В повинні бути визначеними так, щоби критерій мав наперед задану силу (б,в).
Введемо нерівності, що зв’язують величини б, в, А і В, для визначення постійних А і В послідовного критерію відношення імовірностей.
Будемо називати вибірку x1,…,xn вибіркою типу 0, якщо
В < = < А, для m =
і
? В.
Аналогічно будемо називати вибірку вибіркою типу 1, якщо
В < = < A, для m =
і
? А.
Міра імовірності сукупності всіх вибірок типу 1 є імовірність того, що послідовний процес закінчиться прийняттям H1 (відхиленням H0). Але ця імовірність дорівнює б, коли вірна гіпотеза H0, і 1 - в, коли вірна гіпотеза H1; таким чином, отримаємо нерівність
1 - в ? А б.
Цю нерівність можна записати у вигляді Таким чином, вибірка типу 0 призводить до прийняття гіпотези H0, а вибірка типу 1 призводить до прийняття гіпотези H1 (до відхилення H0).
А ? .
Таким чином, являється верхньою границею для А.
Подібним чином може бути отримана і нижня границя для В. Так як імовірність прийняття H0 дорівнює 1 - б, коли вірна гіпотеза H0, і в, коли вірна гіпотеза H1, то з цього слідує нерівність
В ? (1 – б)В.
Цю нерівність можна записати у вигляді
В ? .
Таким чином, являється нижньою границею для В.
Ці нерівності можуть бути переписаними у вигляді
? ,
? В.
Ці нерівності являються найбільш важливими у практичному застосуванні, так як вони забезпечують верхні границі для б і в при заданих А і В. Наприклад, з цих нерівностей слідує
б ? і в ? В.
Запитання для роздумів, самоконтролю, повторення
Лекція 8. Загальні відомості про автоматизовані системи управління
Відомо, що всяка система управління з точки зору технології її функціонування розв’язує три основні задачі: збирання та передача інформації про об’єкт, що керується, оброблення інформації і, нарешті, видача керуючих впливів на об’єкт управління. АСУ автоматизують всі три ці етапи.
Існують два основні типи АСУ: системи управління технологічними процесами (АСУТП) та системи організаційного чи адміністративного управління (АСОУ). Вони відрізняються характером об’єкта управління. Для перших – це різні машини, прилади, пристрої, для других – перш за все люди, людські колективи. В системах організаційного управління основною формою передачі інформації є документ.
Розрізняють також автоматизовані та автоматичні системи управління. Автоматизована система включає людську ланку (операторів чи адміністративний апарат) в якості своєї частини. Стосовно систем організаційного управління, то вони не можуть бути повністю автоматичними. Люди в таких системах розв’язують наступні задачі. По-перше, це поставка та коректування цілей і