М н о г о к у т н и к и

План:

Вступ

Ламана

Поняття многокутника

Правильні многокутники

Теорема Бояй-Гервіна

Висновок

Вступ

Геометрія – це наука про властивості геометричних фігур.

Многокутник – фігура, яка дістала свою назву через свою форму. Многокутник складається з багатьох точок на площині і відрізків, які попарно з’єднують ці точки.

Найпростішим представником родини многокутників є трикутник, бо три кути – це найменша кількість кутів, яка може бути у фігурі. Також представниками родини многокутників є трапеція, квадрат, прямокутник, паралелограм, ромб, а також і n-кутник...

Розглянемо приклад ламаної.

Ламана А1, А2, А3....Аn називається фігура, яка складається з точок А1, А2,....Аn і відрізків А1А2, А2А3,....,Аn-1Аn, що їх сполучають. Точки А1, А2,....Аn – вершини. Відрізки А1А2, А2А3,....,Аn-1Аn – ланки ламаної. Ламана називається простою, якщо вона не має само перетинів. Ламана називається замкнутою, якщо у неї співпадають кінці. Довжина ламаної – це сума довжин її ланок. Основна властивість ламаної: довжина ламаної не менша довжини відрізка, що сполучає її кінці.

Многокутники. Об’єднання простої замкненої ламаної та її внутрішньої області називається многокутником. Сама ламана називається межею многокутника, а її внутрішня область – внутрішньою областю многокутника. Ланки ламаної називається сторонами многокутника. Точки в яких зберігаються дві суміжні ланки, називаються вершинами многокутника. Кути, утворені двома суміж-ними сторонами многокутника, називаються внутрішніми китами многокутника. Кути, суміжні з внутрішніми ку-тами многокутника, називаються його зовнішніми кутами.

Діагоналлю многокутника називається кожний відрі-зок, Ідо з'єднує дві вершини, які не належать одній-з його сторін.

Сума довжин усіх сторін многокутника називається його периметром і позначається буквою Р або 2р, де р — півсума всіх його сторін (півпериметр).

Залежно від числа сторін многокутник називається чотирикутником, п'ятикутником тощо.

Многокутник часто називають n-кутником, де n — число сторін (вершин кутів). Очевидно, що п 3.

Сума внутрішніх кутів будь-якого n-кутника дорівнює (n - 2) * 180° або 2d(n - 2).

Сума зовнішніх кутів опуклого многокутника, взятих по. одному при кожній вершині, дорівнює 360°.

Правильним многокутником називається опуклий многокутник, у якого всі кути рівні і всі сторони рівні.

Прикладами правильних многокутників є рівносторонній трикутник і квадрат.

Виведемо формулу для обчислення кута n правильного n-кутника. Сума всіх кутів такого n-кутника дорівнює (n - 2) 180°, причому всі його кути рівні, тому

Коло, описане навколо правильного многокутника. Нагадаємо, що коло називається описаним навколо многокутника, якщо всі вершини многокутника лежать на цьому колі. Доведемо теорему про коло, описане навколо правильного мно-гокутника.

Т е о р е м а. Навколо будь-якого правильного многокутника можна описати коло, і до того ж тільки одне.

Д о в е д е н н я. Нехай А1, А2, А3....Аn правильний многокутник, О — точка перетину бісектрис кутів А1, А2 .

Сполучимо точку О відрізками з іншими вершинами много-кутника і доведемо, що ОА1 = ОА2=...= ОАn. Оскільки А1 = А2 то 1 — 3, тому трикутник А1А2О рівнобедрений, і отже, ОА1 - О А2. Трикутники А1А2О і А3А2О рівні за двома сторонами і кутом між ними (А1А2 = А3А2, А2О — спільна сторона і 3 = 4), тому ОА3 = ОА1. Так само можна до-вести, що ОА4 = ОА2, ОА5 - ОА3 і т. д.

Отже, ОА1 = OA2 =...= ОАn, тобто точка О рівновіддалена від усіх вершин многокутника. Тому коло з центром О і ра-діусом ОА1 є описаним навколо многокутника.

Доведемо тепер, що описане коло тільки одне. Розглянемо які-небудь три вершини многокутника, наприклад А1, А2, А3. Оскільки через ці точки проходить тільки одне коло, то навколо многокутника А1А2...Аn можна описати тільки одне коло. Теорему доведено.

Коло, вписане в правильний многокутник. Нагадаємо, що коло називається вписаним у многокутник, якщо всі сторони многокутника дотикаються до цього кола. Доведемо теорему про коло, вписане в правильний многокутник.

Т е о р е м а. У будь-який правильний многокутник можна вписати коло і до того ж тільки одне.

Доведення. Нехай А1А2...Аn — правильний многокут-ник, О — центр описаного кола (мал. 308). При доведенні по-передньої теореми ми встановили, що ОА1А2= ОА2А3 = ...= ОА2А3, тому висоти цих трикутників, проведені з вер-шини О, теж рівні: ОН1= ОН2 =...= ОНn. Звідси випливає, що коло з центром О і радіусом ОН1 проходить через точки Н1, H2, ..., Нn і дотикається до сторін многокутника в цих точках, тобто це коло вписане в даний правильний многокутник.

Доведемо тепер, що вписане коло тільки одне.

Припустимо, що поряд з колом з центром О і радіусом ОН1 є друге коло, вписане в многокутник А1А2..Аn. Тоді його центр О1 рівновіддалений від сторін многокутника, тобто точка О1 ле-жить на кожній з бісектрис кутів многокутника і, отже, збігає-ться з точкою О перетину цих бісектрис. Радіус цього кола дорівнює відстані від точки О до сторін многокутника, тобто дорівнює ОН1. Таким чином, друге коло збігається з першим. Теорему доведено.

Н а с л і д о к 1. Коло вписане в правильний многокутник, дотикається до сторін многокутника в їх серединах.

Н а с л і д о к 2. Центр кола, описаного навколо правиль-ного многокутника, збігається з центром кола, вписаного в цей самий многокутник.

Ця точка називається центром правильного многокутника.

Формули для обчислення площі правильного многокут-ника, його сторони і радіуса вписаного кола. Нехай S - площа правильного n-кутника, аn — його сторона, Р - периметр, а