Середні значення
Середні значення
Статистика оперує такими середніми значеннями: серед-нє арифметичне, середнє квадрати-чне, середнє геометричне.
Середнє арифметичне. Нехай ми маємо п об'єктів, у яких виміряно деяку характеристику, що має значення x1, x2, …, xn.
Середнім значенням (або середнім арифметичним) називається таке число , яке дістають ді-ленням суми всіх да-них вибірки x1, x2, …, xn на число цих даних n,
або (- знак суми – “сигма” велика)
Приклади. 1) Протягом перших п’яти днів березня температура повітря, вимірювана о 8 год. ранку, станови-ла 3°, 5°, 4°, 1°, 2°. Знайти середню температуру за ці дні.
Маємо:
2) 3 двох учнів треба вибрати одного в баскетбольну команду. Відомі кількості їхніх влу-чень м'яча в корзину на кожні десять кидків під час тренувань.
Таблиця 1
Номер тренувань |
1 |
2 |
3 |
4 |
5
Перший учень
4 |
3 |
5 |
3 |
6
Кількість влучень |
Другий учень
5 |
4 |
3 |
6 |
5
Розв'язання.
Знаходимо середню кількість влу-чень.
Для першого учня:
Для другого учня:
Отже, в команду слід узяти другого учня.
Розглянемо деякі властивості середнього арифметичного.
1) Знайдемо відхилення l кожного значення xj від се-реднього. Різниця х —може бути від'є-мною або додатною.
Сума всіх п відхилень дорівнює нулю. Проілюструє-мо цю властивість на при-кладі. Вихі-дні дані:. (0; 0; 1; 1; 3;3;3; 5); n= 8; = 2.
2) Якщо до кожного ре-зультату спостережень додати деяке число с (константу), то середнє арифметичне пере-твориться в + с. Візьмемо, наприклад, попередні 8 зна-чень і додамо до кож-ного з них по 5. Дістанемо числа 5; 5; 6: 6; 8; 8; 8; 10, середнє арифметичне яких (5 + 5+ 6 + 6 + 8 + 8 + 8+10) : 8 = 7. Середнє на 5 одиниць більше.
Таблиця 2
Значення | Середнє арифметичне | Відхилення
0 | 2 | -2
0 | 2 | -2
1 | 2 | -1
1 | 2 | -1
3 | 2 | 1
3 | 2 | 1
3 | 2 | 1
5 | 2 | 3
-
0
3) Якщо кожне значення сукупності з середнім по-множити на константу с, то середнє ариф-метичне стане с. Перевірте властивість, використовуючи попередні дані.
Якщо величини деяких даних повторюються, то середнє арифметичне визначають за фор-мулою
,де
fi — частота повторення результату xi.
Приклади. 1) Протягом двадцяти днів серпня тем-пература повітря вранці була такою: 17°, 18°, 19°, 20°, 18°, 18°, 18o, 19o, 19°, 20°, 20°, 19°, !9°, 19°, 20°, 19o, 18°, 17°, 16°, 19°.
Знайти середню температуру за цими даними.
Тут окремі значення (17°, 18°, 19°, 20°) повторюються. Середня температура дорівнює:
2) Подаємо запис обчислення середнього арифметичного при повторенні деяких даних у ви-гляді таблиці.
Таблиця 3
Вихідні
дані |
xi |
Час-тота fi |
xifi |
Остаточне обчис-лення
2 | 6 | 10 | 2 | 2 | 4 |
де I=1,2,3,…,11
2 | 6 | 10 | 3 | 1 | 3
3 | 6 | 11 | 4 | 3 | 12
4 | 6 | 12 | 5 | 2 | 10
4 | 8 | 12 | 6 | 4 | 24
4 | 9 | 15 | 8 | 1 | 8
5 | 9 | 15 | 9 | 3 | 27
5 | 9 | 15 | 10 | 2 | 20
11 | 1 | 11
12 | 2 | 24
15 | 3 | 45
3) За контрольну роботу учні одержали такі оцінки
Оцінки (бали) 5 4 3 2
Кількість
учнів 6 7 4 17
Чи достатньо засвоєний матеріал?
Знайдемо середню величину оцінок.
Ця оцінка є задовільною. Але частота оцінки «2» (мода) дуже висока, вона дорівнює 17. Отже, матеріал засвоєний учнями недостатньо.
Середнє квадратичне відхилення. Ми вже встановили, що сума відхилень даних від сере-днього значення дорівнює нулю. Тому, якби ми вирішили шукати середній показник відхилень, то він також дорівнював би нулю. В статистиці користуються іншим показником — середнім квадратич-ним відхиленням, який знаходять так: усі відхилення підносять до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів; із знайденого середнього арифметичного добувають квадра-тний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою буквою у (“сигма” мала):
Знаходження середнього квадратичного відхилення подано в таблиці 4.
Таблиця 4
Зна-чен-ня xi |
Сере-днє ариф-ме-ти-чне |
Відхи-лення
xi — |
Квадрат відхи-лення
(xi-)2 |
Квадратичне від-хилення у
5 | - 7 | 49
8 | - 4 | 16
10 | - 2 | 4
12 | 0 | 0
17 | 5 | 25
20 | 8 | 64
=72 | =
=12
У статистиці користуються також величиною у2 (квад-рат середнього квадратичного відхи-лення), яку називають дисперсією.
Середнє геометричне п додатних чисел х1, х2, х3, ...,хп визначається виразом
, тобто середнє ге-ометричне х1 х2 х3...п є корінь n-го степеня з добутку всіх xi (і = 1, 2, ...).
У випадку двох чисел а і b середнє геометричне нази-вають середнім пропорційним цих чисел. З рівності тс = аb випливає, що а : mc= тс : b.
На практиці окремим особам, організаціям, керівникам підприємств доводиться розв'язу-вати різноманітні задачі, пов'язані з використанням поняття моди, медіани, серед-нього. Напри-клад, яких розмірів дитячого взуття слід випускати більше, ніж інших; на якому з міських марш-ру-тів треба пустити автобусів більше, ніж на решті; якого розміру спортивних костюмів слід ви-готовити найбільше для учнів 10—11 класів тощо.
Розглянуті моду, медіану і середні значення називають мірами центральної тенденції.