Середні значення

Статистика оперує такими середніми значеннями: серед-нє арифметичне, середнє квадрати-чне, середнє геометричне.

Середнє арифметичне. Нехай ми маємо п об'єктів, у яких виміряно деяку характеристику, що має значення x1, x2, …, xn.

Середнім значенням (або середнім арифметичним) називається таке число , яке дістають ді-ленням суми всіх да-них вибірки x1, x2, …, xn на число цих даних n,

або (- знак суми – “сигма” велика)

Приклади. 1) Протягом перших п’яти днів березня температура повітря, вимірювана о 8 год. ранку, станови-ла 3°, 5°, 4°, 1°, 2°. Знайти середню температуру за ці дні.

Маємо:

2) 3 двох учнів треба вибрати одного в баскетбольну команду. Відомі кількості їхніх влу-чень м'яча в корзину на кожні десять кидків під час тренувань.

Таблиця 1

Номер тренувань |

1 |

2 |

3 |

4 |

5

Перший учень

4 |

3 |

5 |

3 |

6

Кількість влучень |

Другий учень

5 |

4 |

3 |

6 |

5

Розв'язання.

Знаходимо середню кількість влу-чень.

Для першого учня:

Для другого учня:

Отже, в команду слід узяти другого учня.

Розглянемо деякі властивості середнього арифметичного.

1) Знайдемо відхилення l кожного значення xj від се-реднього. Різниця х —може бути від'є-мною або додатною.

Сума всіх п відхилень дорівнює нулю. Проілюструє-мо цю властивість на при-кладі. Вихі-дні дані:. (0; 0; 1; 1; 3;3;3; 5); n= 8; = 2.

2) Якщо до кожного ре-зультату спостережень додати деяке число с (константу), то середнє арифметичне пере-твориться в + с. Візьмемо, наприклад, попередні 8 зна-чень і додамо до кож-ного з них по 5. Дістанемо числа 5; 5; 6: 6; 8; 8; 8; 10, середнє арифметичне яких (5 + 5+ 6 + 6 + 8 + 8 + 8+10) : 8 = 7. Середнє на 5 одиниць більше.

Таблиця 2

Значення | Середнє арифметичне | Відхилення

0 | 2 | -2

0 | 2 | -2

1 | 2 | -1

1 | 2 | -1

3 | 2 | 1

3 | 2 | 1

3 | 2 | 1

5 | 2 | 3  

-

0

3) Якщо кожне значення сукупності з середнім по-множити на константу с, то середнє ариф-метичне стане с. Перевірте властивість, використовуючи попередні дані.

Якщо величини деяких даних повторюються, то середнє арифметичне визначають за фор-мулою

,де

fi — частота повторення результату xi.

Приклади. 1) Протягом двадцяти днів серпня тем-пература повітря вранці була такою: 17°, 18°, 19°, 20°, 18°, 18°, 18o, 19o, 19°, 20°, 20°, 19°, !9°, 19°, 20°, 19o, 18°, 17°, 16°, 19°.

Знайти середню температуру за цими даними.

Тут окремі значення (17°, 18°, 19°, 20°) повторюються. Середня температура дорівнює:

2) Подаємо запис обчислення середнього арифметичного при повторенні деяких даних у ви-гляді таблиці.

Таблиця 3

Вихідні

дані |

xi |

Час-тота fi |

xifi |

Остаточне обчис-лення

2 | 6 | 10 | 2 | 2 | 4 |

де I=1,2,3,…,11

2 | 6 | 10 | 3 | 1 | 3

3 | 6 | 11 | 4 | 3 | 12

4 | 6 | 12 | 5 | 2 | 10

4 | 8 | 12 | 6 | 4 | 24

4 | 9 | 15 | 8 | 1 | 8

5 | 9 | 15 | 9 | 3 | 27

5 | 9 | 15 | 10 | 2 | 20

11 | 1 | 11

12 | 2 | 24

15 | 3 | 45

3) За контрольну роботу учні одержали такі оцінки

Оцінки (бали) 5 4 3 2

Кількість

учнів 6 7 4 17

Чи достатньо засвоєний матеріал?

Знайдемо середню величину оцінок.

Ця оцінка є задовільною. Але частота оцінки «2» (мода) дуже висока, вона дорівнює 17. Отже, матеріал засвоєний учнями недостатньо.

Середнє квадратичне відхилення. Ми вже встановили, що сума відхилень даних від сере-днього значення дорівнює нулю. Тому, якби ми вирішили шукати середній показник відхилень, то він також дорівнював би нулю. В статистиці користуються іншим показником — середнім квадратич-ним відхиленням, який знаходять так: усі відхилення підносять до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів; із знайденого середнього арифметичного добувають квадра-тний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою буквою у (“сигма” мала):

Знаходження середнього квадратичного відхилення подано в таблиці 4.

Таблиця 4

Зна-чен-ня xi |

Сере-днє ариф-ме-ти-чне |

Відхи-лення

xi — |

Квадрат відхи-лення

(xi-)2 |

Квадратичне від-хилення у

5 | - 7 | 49

8 | - 4 | 16

10 | - 2 | 4

12 | 0 | 0

17 | 5 | 25

20 | 8 | 64

=72 | =

=12

У статистиці користуються також величиною у2 (квад-рат середнього квадратичного відхи-лення), яку називають дисперсією.

Середнє геометричне п додатних чисел х1, х2, х3, ...,хп визначається виразом

, тобто середнє ге-ометричне х1 х2 х3...п є корінь n-го степеня з добутку всіх xi (і = 1, 2, ...).

У випадку двох чисел а і b середнє геометричне нази-вають середнім пропорційним цих чисел. З рівності тс = аb випливає, що а : mc= тс : b.

На практиці окремим особам, організаціям, керівникам підприємств доводиться розв'язу-вати різноманітні задачі, пов'язані з використанням поняття моди, медіани, серед-нього. Напри-клад, яких розмірів дитячого взуття слід випускати більше, ніж інших; на якому з міських марш-ру-тів треба пустити автобусів більше, ніж на решті; якого розміру спортивних костюмів слід ви-готовити найбільше для учнів 10—11 класів тощо.

Розглянуті моду, медіану і середні значення називають мірами центральної тенденції.