Подальші розширення поняття числа обумовлені вже не безпосередньо потребами рахунку і виміру, а з'явилися в результаті розвитку математики.

Введення від’ємних чисел було викликано розвитком алгебри, як науки, що дає загальні способи рішення арифметичних задач, незалежно від їхнього конкретного змісту і вихідних числових даних. Необхідність введення в алгебру від’ємних чисел виникає вже при розв’язанні задач, що зводяться до лінійних рівнянь з одним невідомим.

Можлива від’ємна відповідь у задачах такого роду може бути розтлумачена на прикладах найпростіших направлених величин (таких, як протилежно направлені відрізки, пересування в напрямку, протилежному ніж обраний, майно - борг і т.д.). В тих задачах , де потрібно багато застосовувати дії додавання та віднімання, для рішення без допомоги від’ємних чисел необхідно розглядати дуже багато випадків: це може бути настільки складним, що втрачається перевага алгебраїчного рішення задачі перед арифметичним. Тобто широке використання алгебраїчних методів для рішення задач дуже важке без використання від’ємних чисел.

У Індії ще в 6-11 століттях від’ємні числа систематично застосовувалися при вирішенні задач і розтлумачувалися в основному так само, як це робиться тепер.

У європейській науці від’ємні числа остаточно ввійшли у вжиток лише з часів Р. Декарта, який дав геометричне тлумачення від’ємним числам, як напрямкам відрізків. Створення Декартом аналітичної геометрії дозволило розглядати корені рівняння, як координати точок перетинання деякої кривої із віссю абсцис. Це остаточно стерло розходження між додатними і від’ємними коренями рівняння, їхнє тлумачення виявилося майже однаковим.

Числа цілі, дробові (додатні та від’ємні) та нуль одержали загальну назву раціональних чисел. Сукупність раціональних чисел має властивість замкнутості стосовно чотирьох арифметичних дій. Це означає, що сума, різниця, частка (крім випадку при діленні на нуль, що не має змісту) і добуток будь-яких двох раціональних чисел є раціональним числом. Сукупність раціональних чисел упорядкована у відношенні понять «більше» і «менше». Сукупність раціональних чисел має властивість густини: між будь-якими двома різними раціональними числами знаходиться нескінченно багато раціональних чисел. Це дає можливість за допомогою раціональних чисел здійснювати виміри ( наприклад довжини відрізка в обраній одиниці масштабу ) із будь яким ступенем точності. Тобто, сукупність раціональних чисел виявляється достатньою для задоволення багатьох практичних потреб.