Деякі з основних методів розв’язування задач НЛП.

Метод Франка –Вулфа . Нехай потрібно найти максимальне значення вогнутой функції

(57)

при умовах : (58)

(59)

Характерною особливістю цієї задачі являється то , що її система обмеження вміщує тільки лінійні нерівності . Ця особливість являє основний для заміни в межах досліджуваної точки нелінійної цільової функції лінійною , завдяки чому розв’язок даної задачі зводиться до послідовного розв’язку задач лінійного програмування.

Процес найдення розв’язку задачі начинають з оприділення точки , принадлежавшої області допустимих розв’язків задачі.

Нехай ця точка , тоді в цій точці вираховують градієнт функції (57)

і будують лінійну функцію

(60)

Потім знаходять максимальне значення цієї функції при обмеженнях (58) і (59). Нехай рішення даної задачі визначається точкою . Тоді за новий допустимий розв’язок даної задачі приймають координати точки

(61)

де -- деяке число , називають кроком вирахуваним і закінченням між нулем і одиницею . Це число беруть довільно чи визначають таким способом , щоб значення функції в точці

залежавши від , було максимальним . Для цього необхідно найти рішення рівності і вибрати його найменший корінь . Якщо його значення більше одиниці , то слідує покласти . Після визначення числа находять координати точки вираховують значення цільової функції в ній і виясняють необхідність переходу до нової точки . Якщо така необхідність має , то вираховують в точці градієнт цільової функції , переходять до даної задачі лінійного програмування і находять її розв’язок . Визначають координати точки і досліджують необхідність проведення подальших обчислень . Після кінцевого числа отримують з необхідною точністю розв’язок даної задачі .

Отже, процес находження розв’язків задачі (57) – (59) методом Франка – Вулфа включає наступні етапи :

Визначають даний допустимий розв’язок задачі .

Находять градієнт функції (57) в точці допустимого розв’язку .

Будують функцію (60) і находять її максимальне значення при умовах (58) і (59) .

Визначають крок обчислень .

По формулам (61) находять компоненти нового допустимого розв’язку .

Провіряють необхідність переходу до наступного допустимого розв’язку . У випадку необхідності переходять до етапу 2 , в поганому випадку найдене прийняте розв’язок даної задачі .

3.27. Методом Франка – Вулфа найти розв’язок задачі 3.22. , забезпеченої в певному максимальному значенні функції

(62)

при умовах

(63) (64)

Розв’язок . Найдем градієнт функції

і в якості даного допустимого розв’язку задачі візьмемо точку а в якості критерія оцінки якості одержимо розв’язок – нерівності де .

1. Ітерація . В точці градієнт .Знаходимо максимальне значення функції

(65)

при умовах (63) і (64)

(66)

(67)

Задача (65)—(67) має оптимальний план .

Найдемо новий допустимий розв’язок даної задачі по формулі (61):

, де . (68)

Підставимо замість і їх значення , отримаємо

(69)

Знайдемо тепер число . Підкладемо в рівність (62) замість і

із значення у відповідності з відношенням (69)

,

знайдемо подібну цій функції по і прирівняємо її нулю :

.Розв’язуючи цю рівність , отримаємо .

Оскільки найдене значення заключне між 0 і 1 , приймаючи його за величину кроку .Таким образом ,

.

Ітерація . Градієнт цільової функції даної задачі в точці є . Находимо максимальне значення функції при умовах (63) і (64) . Рішення являється .

Оприділяєм тепер .Останню рівність перепишемо наступним образом :

Підкладемо тепер в функцію (62) замість і їх значення у відношенні з відношенням (70) , отримаємо

звідки . Прирівняємо нулю і розв’язуючи отримаємо рівність , знаходимо . Таким образом ,

т.е. .

3. Ітерація . Градієнт функції f в точці є . Находимо максимальне значення функції при умовах (63) і (64). Розв’язком буде .

Знайдемо . Маємо

Розв’язуючи рівність , находимо . Слідуючи , ,, .

Таким образом , являється задовільним розв’язком даної задачі . Дана точка находиться достатньо близько до точки максимального значення цільової функції , найденої при розв’язку цієї задачі в п. 3.3. Задав меншу величину , можна було , зробивши доповнюючи приближення , ще ближче підійти до точки максимального значення цільової функції.