Похідна визначника

Розглянемо визначник, елементи якого – диференційовані функції однієї незалежної змінної х:

(4.3.1.)

Очевидно, що визначник також буде диференційованою функцією аргументу х.

Якщо значення функції – елементи грасманової алгебри, то їх можна розкластим по базису алгебри. Коефіцієнти цього розкладу будуть скалярними функціями. За означенням будемо вважати, що для диференціювання функції зі значеннями у грасмановій алгебрі треба продиференціювати коефіцієнти цього розкладу і результати скласти.

Теорема 4.3.1. Похідна визначника, що його елементами є диференційовані функції, дорівнює сумі n визначників, кожен з яких одержується з даного завдяки диференціюванню відповідного рядка:

(4.3.2.)

Доведення цього твердження безпосередньо випливає з правила диференціювання добутку n функцій.

Як і завжди, обчислимо добуток Х1 ... Хn:

У результаті диференціювання коефіцієнт при е1 ... еn (визначник) матиме вигляд

Кожна з цих сум і є відповідний визначник у формулі (4.3.2.).

Визначник Вронського та його похідна. Визначник Вронського, складений для n диференційованих функцій має вигляд

(4.3.3.)

тобто в ньому елементами першого рядка є задані функції, а кожного наступного – похідні елементів попереднього рядка.

Правило диференціювання визначника Вронського: щоб знайти похідну визначника, досить продиференціювати елементи його останнього рядка:

(4.3.4.)

Доведення випливає з формули (4.3.2.), якщо помітити, що всі визначники, крім останнього, матимуть по парі рівних рядків і тому дорівнюватимуть нулю.

ВИЗНАЧНИК, КОЖЕН ЕЛЕМЕНТ ЯКОГО Є СУМА ДВОХ ВЕЛИЧИН

Такі визначники мають практичне застосування у деяких випадках. Наприклад, визначник:

суми двох квадратних матриць однакових розмірностей складаються з елементів, що дорівнюють сумі відповідних елементів першої та другої матриць, тобто ;

комплексної матриці містить елементи – суми дійсної та уявної частин: ;

елементи якого мають похибку, також містить суму двох величин у кожному елементі – номінальне значення і похибку.

Практичну вартість має одержання виразу для таких визначників через інші визначники, елементи яких не становлять суми. Як зазначалося у формулюванні, ця теорема справедлива, коли елементи деякого стовпчика – сума двох чисел:

Зауважимо, що коли кожен елемент визначника – сума двох чисел, то, застосовуючи до кожного стовпчика теорему 4.1.10, одержимо кожен раз два доданки. Тому визначник n – го порядку буде подано у вигляді суми 2n доданків.

Проілюструємо це на визначнику третього порядку стосовно до задачі знаходження похибки визначника.

Нехай кожен елемент визначника – сума: , де - номінальне значення елемента; - приріст або похибка елемента.

Запровадимо поняття – визначник n – го порядку k – го порядку приростів, який будемо позначати , k = 0, 1, ... , n.

- визначник n – го порядку нульового порядку приросту (k = 0) не містить стовпців приростів, а тільки стовпці номінальних значень елементів визначника, внаслідок чого є номінальним значенням визначника.

- визначник n – го порядку першого порядку приростів (k = 1) містить один стовпець приростів, а решта – стовпці номінальних значень.

- визначник n – го порядку другого порядку приростів (k = 2) містить два стовпці приростів, а решта – стовпці номінальних значень.

- визначник n – го порядку n – го порядку приростів (k = n) містить стовпці приростів і не містить стовпці номінальних значень. - визначник матриці приростів .

Запровадимо також поняття члена k – го порядку приростів , що є сумою визначників n – го порядку приростів. Тоді визначник n – го порядку, в якому кожен елемент є сума номінального значення і приросту елемента, має вигляд

(4.5.1)

Кількість визначників у сумі дорівнює кількості комбінацій з порядку визначника n по порядку приростів k:

. (4.5.2)

Нагадаємо, що кількість комбінацій з n по k, в яких порядок елементів не є суттєвий, знаходиться за формулою

! (4.5.3)

і ці числа – коефіцієнти розкладу бінома Ньютона.

Наприклад, визначник третього порядку, в якому є всі елементи сум , можна зобразити сумою визначників, загальна кількість яких становить 23 = 8, і серед них визначників порядку приростів:

нульового - ;

першого - ;

другого - ;

третього - ;

;

;

;

;

.

Під час наближеного аналізу похибок враховують тільки визначники першого порядку приростів. А оскільки їх кількість дорівнює порядку визначника () і поділ кожного визначника за відповідним стовпцем дає n доданків, то загальна кількість останніх у члені першого порядку приростів становить n2:

, (4.5.4)

де - приріст ij – го елемента; - алгебраїчне доповнення до , яке містить тільки номінальні значення елементів.

Відносний приріст першого порядку

.

Відносний приріст першого порядку, поданий через відносні прирости елементів, має вигляд

,

де - відносний приріст ij – го елемента.

Повний приріст визначника залежно від приростів його елементів

.

У загальному випадку похибка визначника являє собою многочлен порядку n відносно похибок елементів, тобто

(4.5.5)

Тут номінальні значення: - і,j – го елемента визначника; - алгебраїчного доповнення першого порядку; - визначника;

,

де - номінальне значення елемента доповнювального мінора другого порядку; - номінальне значення алгебраїчного доповнення третього порядку;

,

де - добутки номінальних значеня елементів визначника у різних неповторюваних комбінаціях; - алгебраїчне доповнення n – го порядку, яке дорівнює 1.

Рівність (4.5.5) дає змогу точно обчислити похибку визначника при будь – яких значеннях похибки , але на практиці здебільшого досить врахувати тільки похибки першого порядку малості, а для засобів вимірювання, працюючих за принципом інваріантності – і другого.

Вступ

Як відомо з історії розвитку математики, засади теорії визначників були розроблені ще у XVII ст. Г.В. Лейбніцом. Після того над нею працювали і використовували у своїх дослідженнях такі видатні люди науки як К. Гаусс, Г. Крамер, П. Каплас та багато інших. Узагальнив, розвинув і блискуче завершив усі результати з