Курсова робота на тему:

Операції на топологічних просторах

План

Підпростори.

Суми.

Добутки.

Фактор-простори та фактор-відображення.

Вступ

Темою моєї курсової роботи є операції на топологічних просторах, тобто методи побудови нових топологічних просторів із заданих. Ідеї топології беруть початок із робіт видатних математиків ХІХ ст.: Н. І. Лобачевського, Рімана, Пуанкаре, Френне, Кантора, Гілберта та Браура. Оформлення топології у самостійну область математики пов’язане із виходом у 1914р. книжки Ф. Хаусдорфа “Теорія множин“.

Розділ 1 присв’ячений підпросторам. Тут ми вивчаємо звуження і продовження неперервних відображень та функцій. Важливим результатом є теорема Тітце-Урисона.

У розділі 2 описано суми топологічних просторів, які вперше появилися у роботі Тітце у 1923р. Застосування операції суми інколи спрощує доведення та розв’язання прикладів.

У третьому розділі я розглядаю операцію добутку. Порівняно із іншими операціями на топологічних просторах, добуток приводить до найбільш цікавих теорем, прикладів і задач. Френе першим розглядав декартів добуток абстрактних просторів

Фактор-простори вперше появилися у роботі Мора і Александрова. Ці автори вивчали частинний випадок, коли фактор-простір породжується напівнеперервним зверху розбиттям. Мор вивчав тільки розбиття площини на континууми.

1. ПІДПРОСТОРИ

Топологічним простором називається пара,яка складається із множини X і деякої сім’ї підмножини множини X і, яка задовольняє наступні умови:

і .

якщо і ,то .

якщо ,то.

Нехай задано деякий топологічний простір X і множину .Сім’я всіх множин вигляду , де U відкрита в X, і задовольняє умовам 1)-3).Дійсно, умова 1) виконана, оскільки і ,а із рівності

випливає, що виконані також і умови2) і 3)).

Взявши сім’ю відкрита в X},як сім’ю відкритих множин в М, ми визначаємо на М топологію. Множина М з цією топологією називається підпростором простору X, а сама топологія називається індукованою топологією або топологією підпростору.

1.1.Твердження. Нехай X — топологічний простір і М — його підпростір. Множина замкнена в М тоді і тільки тоді, коли ,деF замкнeна в X. Замикання множини в просторі М і замикання множини А в просторі X пов'язані рівністю .

Доведення. Якщо , де ,то і замкнена в М як доповнення до відкритої множини. Навпаки, якщо А — замкнена підмножина М, то ,де відкрита в X, а це означає,що

де Р = Х\и замкнене в X.

За означенням оператора замикання дорівнює перетину всіх замкнених підмножин простору М, що містять А, тобто всіх множин вигляду ,де і .Звідси отримаємо рівність .Доведено.

1.2. Твердження. Нехай М — підпростір простору X і; дві визначені на L топології — топологія підпростору простору М і топологія підпростору простору X — співпадають.

Підпростір М простору X називається його замкненим підпростором, якщо множина М замкнена в X. Якщо М — замкнений підпростір простору X, то множина замкнена в М тоді і тільки, коли вона замкнена в X, тоді для кожного.Якщо - відкрита підмножина простору ,то множина відкрита в М тоді і тільки тоді, коли вона відкрита в Х.

Для кожного топологічного простору X і кожного його підпростору М формула визначає відображення М в X. Оскільки ,то це відображення неперервне. Відображення називається вкладенням підпростору М в простір X. Топологія підпростору співпадає з топологією, породженою відображенням множини М в топологічному просторі X. Вкладення замкнене (відкритий) в тому і лише тому випадку, якщо підпростір М замкнений (відкритий).

Для кожного відображення і кожного підпростору М простору X композиція є неперервним відображенням простору М в простір У. Це відображення називається звуженням відображення f на і позначається.Оскільки композиція замкнених (відкритих) відображень є замкнутим (відкритим) відображенням, то звуження замкненого (відкритого) відображення на замкнуту (відкриту) множину замкнене (відкритий).

Звуження відображення на і визначається як відображення підпростору М в множину, яке довільній точці ставить у відповідність точку підпростору.Це звуження позначається через.

Ще одним різновидом звуження є звуження відображення на визначене як відображення підпростору в простір,який зіставляє точку точці .Це звуження позначається .

Формули, які відносяться до образів і прообразів при звуженнях:

,; ;

,; ,;

,; ,.

1.3.Теорема. Для будь-якого- простору X наступні умови рівносильні:

Простір X є спадковим.

Кожен відкритий підпростір простору X нормальний.

Для кожної пари відокремлених множин А, існують відкриті множини U, ,такі що , і .

Доведення .Те, що з 1) випливає 2) очевидно. Покажемо, що 2)=>3). Нехай множини А, відокремлені. Нехай Очевидно, що А,М. Замикання множини А і В М не перетинаються. Отже, М- нормальне, то існують відкриті в М множини U,V такі, що , і .Оскільки М — відкритий підпростір простору X, то множини U і V відкриті в X.

Для завершення покажемо, що .Нехай М — довільний підпростір простору X і А, — пари замкнених підмножин в М, які не перетинаються. Очевидно, що А і В відокремлені в X, тоді існують відкриті множини U, , такі, що, , і .Перетини і відкриті в М, не перетинаються і містять відповідно А і В.

Нехай для відображення,яке є визначене на підпросторі М простору X, існує відображення ,таке, що .Тоді f неперервно продовжується, або, продовжується на простір X; відображення f називається продовженням відображення f на X. Не всяке неперервне відображення, визначене на деякому підпросторі, має неперервне продовження на весь простір. Лема Урисона може бути переформульована як така теорема. Лема Урисона стверджує, що якщо який-небудь підпростір М нормального простору X може бути представлена як об'єднання двох неперетинних підмножин А і В, замкнених в X, то функція, визначається формулою

неперервно продовжується на Х.

1.4.Теорема Тітце — Урисона.