Доведення. Перш за все доведемо нашу теорему для функцій з X в І. Розглянемо випадок ,де J - інтервал , гомеоморфний .

,який задовольняє умову , існує таке ,що

(1)

. (2)

Насправді, множина не перетинаються і замкнені в М ,а це означає,що вони замкнені в X, і, за лемою Урисона, існує така функція,що і . Якщо то матимемо ,яке задовольнятиме умови (1) і (2).

Визначимо тепер по індукції послідовність неперервних відображень X в R, таку, що

, (3)

. (4)

Щоб отримати застосуємо функції — вкладення J в R.Нехай, уже побудовані. Застосовуючи те ж саме зауваження до ми отримаємо функцію , яка задовольняє (3) і (4) разом із замість і.

Із (3) випливає ,що формула визначає неперервну функцію і, згідно (4), .Таким чином, F є продовження f на X.

Розглянемо функцію .Функція —гомеоморфне вкладення, продовжується на Х до функції .Очевидно, що множина є замкнена підмножина в X, неперетинна з множиною М. Отже, існує неперервне відображення , таке, що .Відображення , визначене формулою ,також є продовженням відображення на X і що .

Функція , визначена співвідношенням є шуканим, продовженням f на X. Доведено.

Відзначимо, що властивість продовження , встановлена теоремою Тітце — Урисона, характеризує нормальні простори в класі -просторів. Насправді, якщо деякий - простір не є X нормальним, то він містить дві неперетинні замкнені підмножини А,В, які не можуть бути відокремлені відкритими множинами, і тому функцію визначену співвідношеннями при і при , не можна неперервно продовжити на X.

1.5.Наслідок. Відображення f. топологічного простору X в топологічний простір У неперервне тоді і тільки тоді, коли кожна точка володіє таким околом , що неперервне.

1.6..Теорема. Нехай — скінчена дискретна сім’я замкнених підмножин нормального простору X. Тоді існує сім’я відкритих підмножин простору Х, таке, що

Доведення. Об'єднання замкнений підпростір в X. Для кожного покладемо при будь-якому ; одержимо сім’ю узгоджених відображень .Таким чином, їх комбінація f є неперервним відображенням. За теоремою Тітце — Урисона f продовжується до відображення. Множини володіють необхідними властивостями.

1.7. Твердження. Нехай X — топологічний простір, — його покриття і — сім’я узгоджених відображень , таке, що комбінація неперервна .Якщо всі відображення відкриті (замкнені і сім’я локально кінцеві), то комбінація f відкрита (замкнена).

Доведення. Достатньо застосувати рівність

2. СУМИ

Нехай задана сім'я попарно неперетинних топологічних просторів, тобто Розглянемо множину і сім’я Q всіх множин таких, що відкриті в для кожного .Сім’я Q задовольняє умовам (1)-(3) і тому визначає деяку топологію на множині X. Множина X з цією топологією називається сумою просторів і позначається або якщо .

2.1 Твердження. Множина замкнена тоді і тільки тоді, коли перетин замкнене в для кожного .

Доведення. Множина А замкнена тоді і тільки тоді, коли його доповнення відкрите. Отже, дане твердження випливає із рівності

Доведено.

2.2. Наслідок. Кожна множина , відкрито-замкнена в .

Очевидно, що кожне є підпростором суми ; вкладення в позначається .

2.3. Твердження. Якщо топологічний простір X може бути представлений як об'єднання сім’ї попарно неперетинних відкритих підмножин, то .

Доведення. Множини X і співпадають, тому достатньо показати, що співпадають також їх сім’ї відкритих множин. Якщо U відкритий в X, то перетин відкритий в для кожного , отже, U відкритий в .І навпаки, якщо U відкритий в ,то для кожного перетин відкритий в , тому відкритий і в Х. Звідси випливає, що відкрите в Х.

2.4. Наслідок. Нехай — сім’я попарно неперетинних топологічних просторів. Якщо ,де тобто сума простору асоціативна.

2.5. Твердження. Відображення f суми в топологічний простір У неперервне тоді і тільки тоді, коли композиція неперервна для кожного .

Доведення. Якщо , то кожне неперервне як композиція двох неперервних відображень. І навпаки, якщо для відображення f суми в простір У кожне неперервне, то неперервне. Доведено.

Суму можна також визначити для сім’ї топологічних просторів , які є попарно неперетинними. Для цього візьмемо сім’ю попарно неперетинних просторів, таких, що ; гомеоморфно для всіх , і покладемо .Нехай будь-яке сім’я просторів має суму (визначену з точністю до гомеоморфізма), ця сім’я складається з попарно неперетинних просторів.

Кажемо, що топологічна властивість - адитивна (-адитивна, скінчено - адитивна), якщо для будь-якої сім’ї (такої, що просторів, що володіють властивістю , сума також володіє властивістю .

2.6.Приклади. Дискретний простір є сумою одноточкових просторів.

Для будь-якої точки х. прямої Зоргенфрея може бути представлена як сума, де .Насправді, в якості можна вибрати інтервал , що міститься в U, а в якості — його доповнення .Оскільки відкрито-замкнений в К, то рівність випливає із твердження 2.3.

Пряму R не можна представити як суму непорожніх множин . Припустимо протилежне, тобто що. Виберемо точки , можемо вважати, що. Множина обмежена; нехай — його найменша верхня грань. Оскільки замкнене, то, звідки .Оскільки Х1 відкритий, то існує таке , що , і ми маємо Л всупереч визначенню найменшої верхньої грані.

3. ДОБУТКИ

Нехай — сім’я топологічних просторів. Розглянемо (декартів) добуток множин і сім’я відображень ,де співставляє точці її s- ту координату . Множина з топологією, породженою сім’єю відображень називається (декартовим) добутком просторів, а сама топологія називається тихонівською топологією на ; відображення називається проекціями. Для будь-якої сім’ї топологічних просторів символом надалі позначатимемо топологічний простір, на якому задано