3.1 Твердження. Сім’я всіх множин - відкрита підмножина простору і тільки для кінцевої множини, утворює базу добутку .Якщо для кожного фіксована деяка база простору , то підсім’я, що складається з тих в яких також утворює базу.

Доведення. Сім’я всієї множина вигляду ,де відкриті в є

базою простору . Бачимо, що , де при , і

Друга частина є наслідком першої і означення бази.

База простору , описана в першій частині наведеного вище твердження, називається канонічною базою добутку. Очевидно, що сім’я всіх множин , де - відкрита підмножина простору і тільки для одного , є передбазою добутку .

3.2. Твердження. Якщо — сім’я топологічних просторів і — підпростір простору , то дві топології, визначені на множині , а саме топологія добутку підпросторів і топологія співпадають.

Доведення. Вважатимемо, що для кожного . Оскільки звуження проекцій неперервні, то топологія підпростору на А тонша, ніж топологія добутку (через означення останнього). Будь-яка відкрита множина підпростору А є перетином А з об'єднанням сім’ї елементів канонічної бази простору ,тобто об'єднанням перетинів А з елементами цієї сім’ї.

Оскільки кожен такий перетин є елементом канонічної бази для , то топологія добутку на А тонша, ніж топологія підпростору.

3.3. Твердження. Для кожної сім’ї множин де ,має місце рівність .

Доведення. тоді і тільки тоді, коли для кожного елемента канонічної бази простору який містить х, ми маємо

,

тобто якщо для кожного і будь-якого околу s- ті координати точки х ми маємо . Остання умова виконується тоді і тільки тоді, коли .

3.4. Наслідок. Множина де, скрізь щільна у добутку ,тоді і тільки тоді, коли , скрізь щільна в X, для кожного .

3.5. Твердження. Відображення f топологічного простору X в добуток неперервне тоді і тільки тоді, коли композиція неперервна для кожного .

3.6. Твердження. Нехай — сім’я топологічних просторів. Якщо , де для , то простори і гомеоморфні, тобто декартів

добуток асоціативний.

Доведення. Поставимо у відповідність точці точку , де . Визначене у такий спосіб відображення f взаємно однозначно однозначно відображає простір на . Застосувавши 3.5, переконаємося, що відображення неперервні.

Із останнього твердження випливає, що простори гомеоморфні для будь-якого простору Х і будь-якого кардинального числа .

3.7. Твердження. Нехай — сім’я топологічних просторів і — взаємно однозначне відображення S на себе. Тоді простори і гомеоморфні, тобто декартів добуток комутативний.

3.8.Приклад. Нехай п — додатне ціле число; простір — добуток п прямих — називається евклідовим п-вимірним простором. Простір —добуток п замкнених одиничних відрізків — називається одиничним п-вимірним кубом. Якщо , то підпростір простору , що складається зі всіх точок, у яких останні координат рівні нулю, гомеоморфний простору , тобто вкладемо в при . Підпростір простору , що складається зі всіх точок , таких, що , називається одиничною п-вимірною сферою і позначається . Замінюючи знак рівності на визначенні (п—1) -вимірної сфери, ми одержимо підмножину простору , яка називається одиничною п-вимірною кулею і позначається .Одновимірна сфера — це коло, а добуток — тор.

Нехай задані дві сім’ї і топологічних просторів і сім’я відображень , де . На основі твердження 3.5, відображення, що переводить точку в точку , неперервне. Воно називається декартовим добутком відображень і позначається або якщо . Для декартових добутків, мають місце співвідношення , де , .

Нехай задані топологічний простір X, сім’я топологічних просторів і сім’я відображень , де . За твердженням 3.5, відображення, що переводить точку в точку , неперервне. Це відображення називається діагоналлю відображень (або діагональним відображенням) і позначається або якщо . Відзначимо, що для діагоналі мають місце співвідношення

,

де , .Образ,

де , називається діагоналлю добутку . Якщо X — гаусдорфів простір, то діагональ замкнена в . Деяка топологічна властивість P мультиплікативна, якщо для будь-якого сім’ї просторів з властивістю P їх добуток також володіє властивістю P.

3.9.Наслідок. Перша і друга аксіоми зліченності є мультиплікативними властивостями.

3.10. Теорема Хьюїтта — Марчевського — Пондіцері. Якщо для кожного і , то .

Доведення.Припустимо, що простори непорожні і що .Нехай — скрізь щільний підпростір простору таке, що . Доведемо, що добуток містить скрізь щільну підмножину потужності . Оскільки декартовий добуток , де — довільне відображення дискретного простору на , є неперервним відображенням простору на , то доведення зводиться до перевірки того, що .Позначимо через Т -у степінь двоточкового дискретного простору; тоді і . Нехай В — база простору Т, така, що , і нехай — сукупність всіх кінцевих сімей попарно неперетинних елементів бази. В. Очевидно, що . У добутку, виберемо множину А, яка складається зі всіх функцій f із Т в таких, що сім’я із властивістю: f постійна на кожній множині і на множині

. Оскільки , то і .

Покажемо, що множина А скрізь щільна в , тобто для кожної непорожної відкритої множини перетин непорожня. Виберемо точки при , і точки такі, що . Оскільки Т-гаусдорфів простір ,то існує така сім’я , що для . Функція f із Т в , визначається формулою

належить обом множинам А і V, тобто .

3.11. Твердження.У добутку сепарабельних просторів будь-яка сім’я попарно неперетинних непорожніх відкритих множин є зліченна.

Обмеження числа співмножників в теоремі Хьюїтта - Марчевського - Пондіцері є важливим.

3.12. Лема. Якщо відображення взаємно однозначне і одноелементна