Доведення. Достатньо показати, що для кожної замкненої множини має місце співвідношення

(1)

Якщо , то і .Отже, права частина співвідношення (1) міститься в його лівій частині. Зворотне включення очевидне.

Під графіком відображення простору X в У розуміють підмножину добутку , визначене формулою

Простір X називається універсальним для всіх просторів, що володіють даною топологічною властивістю , якщо X володіє властивістю і кожен простір, що володіє цією властивістю, можна вкласти в X.

Тіхоновській куб ваги є простір , тобто добуток , де для кожного і . Тихонівський куб називається гільбертовим кубом. Якщо , то куб вкладається в .

3.13. Теорема. Тихонівській куб є універсальним для всіх тихонівських просторів ваги .

Доведення. Замкнений одиничний інтервал є тихонівським простором; отже, куб також є тихонівським простором.

Покажемо, що кожен тихонівський простір X ваги вкладається в . Оскільки дискретний простір є тихонівським простором ваги , то з цього випливає, що

,

і це завершує доведення рівності .

Оскільки X — тихонівський простір, то сім’я всіх функціонально відкритих множин є базою простору X. Існує така база простору X, що складається з функціонально відкритих множин таких, що . Для кожного розглянемо неперервне відображення таке, що . Сім’я розділяє точки і замкнені множини. Оскільки X є -простором, то з теореми про діагональне відображення випливає, що діагональ є гомеоморфним вкладенням простору X в . Канторів куб ваги — це простір , тобто добуток , де для кожного і . Канторів куб називається канторовою множиною. Вага простору рівна . Канторів куб також є універсальним простором для всіх нуль-вимірних просторів ваги . Олександрівський куб ваги — це простір , тобто добуток , де для кожного і .

3.14. Теорема. Олександрівський куб універсальний для всіх -просторів ваги .

3.15.Приклад. Нехай — тотожне відображення прямої самої на себе і — відображення тієї ж прямої в одноточковий дискретний простір {0}. Обидва відображення замкнені, проте їх декартовий добуток не є замкнутим.

3.16. Твердження. Декартовий добуток , де і для , відкрите тоді і тільки тоді, коли всі відображення відкриті і існує скінченна множина така, що для .

Доведення. Із рівності випливає, що якщо відображення задовольняють вказаним в твердженні умовам, то відображення відкрите.

І навпаки, нехай — відкрите відображення. Візьмемо і непорожню відкриту множину . Множина непорожна і відкрита в , тому множина відкритийа в бо проекція — відкрите

відображення. Звідси випливає, що відображення відкрите. Оскільки , то непорожня відкрита підмножина простору . Тому вона містить множину вигляду , де тільки для , тоді ми маємо .

3.17.Твердження. Нехай відображення , , замкнені і нехай є -простором, а є -простором, тоді діагональ замкнена.

Доведення. Достатньо показати, що якщо замкнене для , де є - простір, то замкнена. Візьмемо замкнену множину і точку . Оскільки , то

.

З регулярності випливає, що існує окіл точки , який задовольняє включення

.

Тому

, звідки, випливає існування такого околу точки , що , тобто . Остання рівність показує, що окіл точки не перетинається з звідки і випливає замкненість відображення .

3.18. Твердження. Якщо — фільтр в добутку , то для кожного сім’я є фільтр в . Фільтр збігається до точки тоді і тільки тоді, коли збігається до для кажного .

4. ФАКТОР-ПРОСТОРИ І ФАКТОР-ВІДОБРАЖЕННЯ

Нехай X — топологічний простір і Е — деяке відношення еквівалентності на множині X. Позначимо через Х/Е множину всіх класів еквівалентності відношення Е, а через — відображення множини X на Х/Е, поставивши у відповідність кожній точці її клас еквівалентності . Нехай відображення - неперервне. У класі всіх топологій на Х/Е, відносно яких неперервне, існує найтонша: це сім’я всіх множин і, таких, що відкритий в X. Ця топологія називається фактор-топологією, множина Х/Е, задана цією топологією, називається фактор-простором, а —звичайним факторним відображенням

4.1. Твердження. Множина у фактор-просторі Х/Е замкнена тоді і тільки тоді, коли — замкнена підмножина простору X.

Доведення. Твердження випливає з рівності

.

4.2. Твердження. Відображення фактор-простору в топологічний простір неперервне тоді і тільки тоді, коли неперервна композиція .

Доведення. Нехай неперервне; тоді також неперервне. І, навпаки, нехай неперервне; тоді для кожної відкритої множини множина відкрита в X, а це означає, що відкрите в Х/Е.

Нехай X і У — топологічні простори і — неперервне відображення X на У. Розглянемо відношення еквівалентності на множині X, визначене розкладом простору X на прообрази одноточкових підмножин У при відображенні . Відображення можна представити як композицію , де — природне відображення, а — відображення фактор-простору на У, задане формулою . Відображення неперервно через 4.2. Очевидно, що — взаємно однозначне неперервне відображення простору на , але, не гомеоморфізм. Насправді, якщо — взаємно однозначне відображення дискретного простору на інтервал , то фактор-простір також дискретне, тому не є гомеоморфізмом.

Неперервне відображення простору X на У називається фактор-відображенням, якщо воно є композицією звичайного відображення і деякого гомеоморфізма, тобто якщо існують таке відношення еквівалентності Е на множині X і такий гомеоморфізм , що , де — звичайне відображення.

4.3. Твердження. Для відображення топологічного простору X на топологічний простір У рівносильними є наступні умови:

Відображення є факторвідображенням.

Множина відкрита в X тоді і тільки тоді, коли відкрита в .

Множина замкнена в X тоді і тільки тоді, коли замкнена в .

Відображення є гомеоморфізмом.

Доведення. Нехай — факторвідображення, тобто , де - гомеоморфізм,