а —звичайне відображення. За означенням .фактортопології множина відкрита в X тоді і тільки тоді, коли відкрите в ; оскільки — гомеоморфізм, то останнє твердження має місце тоді і тільки тоді, коли відкритий в У. Отже, ми довели, що .Імплікація випливає безпосередньо з рівності . Нехай тепер задовольняє умові . Оскільки відображення взаємно однозначне, то для доведення достатньо показати, що для кожного замкненого множина замкнена в У. Але замкнене в X, тому множина замкнена в У в силу .
4.4. Наслідок. Композиція двох фактор відображень є фактор відображення.
4.5. Наслідок. Будь-яке взаємно однозначне факторвідображення є гомеоморфізмом.
4.6. Наслідок. Факторвідображення замкнене (відкрите)тоді і тільки тоді, коли множина замкнена (відкрита) для будь-якого замкненего (відкритого) .
4.7. Твердження. Фактор-простір деякого фактор-простору простору X є фактор-простором простору X.
Точніше, якщо Е — відношення еквівалентності на просторі X, а — відношення еквівалентності на факторпросторах , то відображення
,
де — звичайні факторвідображення, є гомеоморфізмом.
4.10. Твердження. Якщо —фактор-відображення, то для будь-якої відкритої або замкненої множини звуження є фактор-відображенням.
Нехай — сім’я топологічних просторів і — відношення еквівалентності на для кожного . Визначимо відношення еквівалентності Е на на добутку , вважаючи тоді і тільки тоді, коли для кожного. Відношення Е називається (декартовим) добутком відношення і позначається або , якщо .
4.11. Твердження. Нехай для будь-якого -деяке відношення еквівалентності на просторі , а звичайне відображення, тоді відображення
є гомеоморфізм.
4.12. Приклад. Нехай володіють топологією як підпростори , і нехай . Нехай — фактор-простір, одержаний із ототожненням множини цілих додатніх чисел в точку, і нехай - фактор відображення; як відомо, відображення замкнене. Покажемо, що декартовий добуток не є фактор-відображенням.
Множина замкнена для . і сім’я кінцево локальна. Тому об'єднання замкнене в . Оскільки а множина не замкнена в .З рівності випливає, що не є фактор-відображенням.
5. ГРАНИЦІ ЗВОРОТНИХ СПЕКТРІВ
Нехай — направлена множина, і нехай кожному поставлено у відповідність топологічний простір . Нехай, для будь-яких , , таких, що , визначене неперервне відображення . Нехай, крім того, для будь яких , таких, що і для кожного . Тоді, сім’я є зворотним спектром просторів ; відображення називаються зв'язуючими відображеннями зворотного спектру .
Зворотний спектр , де N — множина всіх додатних цілих чисел із звичайним порядком, називається зворотною послідовністю і позначається .
Нехай — зворотний спектр; елемент добутку називається ниткою зворотного спектру , якщо для будь-яких , які задовольняють нерівність . Підпростір простору , що складається зі всіх ниток спектру , називається межею зворотного спектру і позначається через або .
5.1. Твердження. Границя зворотного спектру гаусдорфових просторів є замкнений підпростір добутку .
Доведення. Для будь-яких, таких, що , покладемо .
Оскільки, множини замкнені в добутку , то множина також замкнена у добутку .
Границя зворотного спектру абсолютно нормальних просторів не обов’язково буде нормальною. Проте границя зворотної послідовності абсолютно нормальних просторів є абсолютно нормальною. Цей останній висновок невірний для нормальних або спадково нормальних просторів
5.2.Приклад. Нехай — сім’я топологічних просторів, причому . Зауважимо, що сім’я всіх кінцевих підмножин множини визначених включенням, тобто визначена відношенням , визначеним так тоді і тільки тоді, коли . Нехай для кажного . Для будь-яких таких, що , визначено неперервне відображення — звуження елементів простору на підмножину . — зворотний спектр топологічних просторів. Для будь-якого покладемо . Поставивши у відповідність кожній точці точку , визначимо гомеоморфізм простору на добуток . Отже, застосовуючи границю зворотного спектру, можна виразити нескінченні добутки в термінах кінцевих добутків.
Нехай — зворотний спектр топологічних просторів, і нехай . Для кожного визначимо відображення , де - проєкція. Відображення називається проекцією границі зворотного спектру на .
5.3. Твердження. Всякий замкнений підпростір А границі X зворотного спектру є границя зворотного спектру замкнених підпросторів просторів .
5.4. Теорема. Нехай — топологічна властивість, успадкована замкненими підмножинами і є кінцево мультиплікативною. Топологічний простір X гомеоморфний границі зворотного спектру - просторів, які володіють властивістю , тоді і тільки тоді, коли X гомеоморфне замкненому підпростору добутку - просторів, які володіють властивістю .
Нехай дані два зворотні спектри і . Відображення зворотного спектру в зворотний спектр є сім’я така, що складається з функції такої, що множина конфінального , і неперервних відображень , визначених для всіх і таких, що . Будь-яке відображення зворотного спектру в зворотний спектр індукує неперервне відображення границі в . Щоб переконатися в цьому, розглянемо відображення зворотного спектру в . Для нитки і кожного покладемо , одержана таким чином точка є нитка, тобто . Дійсно, для будь-яких , маємо, в силу (4) і (5),
.
Поставимо у відповідність точці точку . Цим ми визначаємо відображення . Покажемо, що неперервне. Для цього достатньо показати, що прообрази при відображенні всієї множини , де — відкрита підмножина простору , відкриті в просторі X. Для має місце рівність ,значить, прообраз відкритий, бо і неперервні. Відображення називається граничним відображенням, індукованим сім’ями , і позначається через .
5.5. Твердження. Нехай — відображення зворотного спектру в зворотний спектр . Якщо всі відображення - гомеоморфізми, то граничне відображення також є гомеоморфізмом.
Доведення. Достатньо показати, що для кожного і будь-якого відкритого образ при відображенні множина відкрита у . , оскільки відображення просторів на , то маємо . Тоді
відкрите в просторі .
5.6. Теорема. Для будь-якого відображення зворотного спектру у зворотний спектр існує гомеоморфне вкладення , де таке, що .