Доведення. Для кожного діагональне відображення є гомеоморфним вкладенням, і якщо, простір гаусдорфів, то замкнене. Композиція гомеоморфізма на , де і звуження

також є гомеоморфним вкладенням, і якщо всі гаусдорфові, то — замкнений підпростір простору . Рівність очевидне.

5.7.Теорема. Для кожного зворотного спектру і будь-якого існує зворотний спектр (у якому при будь-якому ), гомеоморфізм і відображення спектру в , де -зв'язуючі відображення спектру такі, що .

Доведення. Визначимо зворотний спектр , вважаючи, що для і для будь-яких таких, що . Границя спектру співпадає з діагоналлю добутки , де . Позначимо через гомеоморфізм на , зворотний гомеоморфизму

. Сім’я , де і при , є відображення зворотного спектру в зворотний спектр . Співвідношення .

Якщо задані зворотний спектр із , топологічний простір X і сім’я відображень такі, що , коли і , тоді сім’я є відображенням постійного зворотного спектру в зворотний спектр . Тим самим визначене граничне відображення

із в . Композиція , де — визначений гомеоморфізм простору X на , називається граничним відображенням, індукованим сім’єю , або значаєтся .

Аналогічно, якщо задані зворотний спектр із топологічних просторів X і сім’я таких відображень такі, що для будь-яких , задовольняючих нерівності , то сім’я є відображенням зворотного спектру в постійний зворотний спектр , так що визначене граничне відображення простору у . Композиція де — гомеоморфізм X на , називається граничним відображенням, індукованим сім’єю відображень , і позначається .

Список використаної літератури:

Рышард Енгелькынг “Общая топологыя” – Москва, “Мыр”, 1986р.

Кураторський, Казимир “Топологія”. Пер. з англ. М. Я. Антоновського. т.1-2, Москва, “Мир” 1966-1969р.

Федорук В.В., Фылынов В.В. “Общая топологыя, основниэ конструкцыї” Москва,Наука,1980р.