Добуток компактних просторів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Локально компактні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Локально компактні простори, зліченні в

Нескінченості . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Паракомпактні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

VIII. Ідеальні відображення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

Ідеальні відображення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Характеризація ідеальних відображень властивостями композиції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Ідеальні відображення в локально компактних

Просторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

IX. Зв’язність . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Зв’язні простори і множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Факторпростори зв’язного простору . . . . . . . . . . . . . . . 36

Зв’язні компоненти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Локально зв’язні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Застосування, теорема Пуанкаре-Вольтерра . . . . . . . . . .37

Список використаної літератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

Вступ

Темою моєї курсової роботи є топологічні структури. Топологічною структурою , або ж топологією в множині X називають структуру , утворену заданням множини підмножин множини X , що володіє наступними властивостями:

(ОІ) Всяке об’єднання множин з є множина з .

(ОІІ) Перетин всякого скінченого сімейства множин з є множина з .

Дана курсова робота складається із дев’яти розділів.

В першому розділі мова йде про замкнені множини, відкриті множини, околи, базиси топології, про скрізь щільні множини, про ніде не щільні множини. Зокрема, наведені означення топологічного простору, гомеоморфізму.

У другому розділі розглядаються неперервні функції, порівняння топологій та ініціальні топології, сформульоване твердження, про те, що композиція двох неперервних відображень є неперервною. Тут наведене також означення ініціальної топології.

Третій розділ розкриває нам поняття підпростору топологічного простору, локально замкнуті підпростори.

У четвертому розділі розглядаються добутки просторів і замикання просторів , наведене твердження:

В добутку топологічних просторів замикання добутку множин співпадає з добутком їх замикань.

В п’ятому розділі розповідається про відкриті і замкнуті відображення.

Шостий розділ розглядає віддільні і регулярні простори.

У сьомому розділі наведені поняття про компактні і локально компактні простори.

Топологічний простір називається компактним . якщо він квазікомпактний і віддільний.

Локально компактним є топологічний простір X, якщо він віддільний і будь-яка його точка має компактний окіл.

У цьому розділі означено також паракомпактний простір.

Топологічний простір X називається паракомпактним, якщо він віддільний і задовольняє умовам наступної аксіоми:

(РС) Для будь-якого відкритого покриття простору X існує локально скінченне відкрите покриття простору X , яке мажорує над .

У восьмому розділі розповідається про ідеальні відображення.

Нехай -відображення топологічного простору X в топологічний простір Y. називається ідеальним відображенням, якщо воно неперервне і для будь-якого топологічного простору Z відображення замкнуте.

У дев’ятому розділі йде мова про зв’язність.

Топологічний простір X називається зв’язним, якщо він є об’єднаннням двох неперетинних не порожніх відкритих множин.

І. Відкриті множини; околи; замкнуті множини

1. Відкриті множини

Означення . Топологічною структурою (або, коротше, топологією) в множині X називають структуру, утворену заданням множини підмножин множини X, що володіє наступними властивостями:

(ОІ) Всяке об'єднання множин з є множина з .

(ОІІ) Перетин всякого скінченого сімейства множин з є множина з .

Множини з називаються відкритими множинами топологічної структури.

Означення . Топологічним простором називають множину, наділену топологічною структурою.

Елементи топологічного простору часто називаються точками. Множина X, в якій визначена топологія, називається носієм топологічного простору X.

Покриття (Uі)іІ підмножини А топологічного простору X називають відкритим, якщо всі Uі - відкриті множини в X.

Означення. Гомеоморфізмом топологічного