Говорять, що X і X' гомеоморфні, якщо існує гомеоморфізм X на X'.

Означення гомеоморфізма безпосередньо зводиться до наступного критерію: для того, щоб бієкція f топологічного простору X на топологічний простір X' була гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб образ при відображенні f всякої відкритої множини з X була відкритою множиною в X', а прообраз відносно f всякої відкритої множини з X'- відкритою множиною в X

2. Околи

Означення. Околом множини А в топологічному просторі X називають всяку множину, яка містить яку-небудь відкриту множину, яка містить А. Окіл одноелементної множини { х} називають також околам точки х.

Твердження. Для того, щоб множина була околом кожної своєї точки, необхідно і достатньо, щоб вона була відкритою.

Позначимо через (х) множину всіх околів точки х. Множини з (х) володіють наступними властивостями:

(VІ) Всяка підмножина множини X, що містить яку-небудь множину з (х), належить (х).

(VІІ) Перетин скінченої кількості множин з (х) належить (х) .

(VІІІ) Елемент х належить кожній множині з (х).

(VІV) Для кожного V, що належить (х), існує W, що належить (х), таке, що V належить (х) для будь-якого yW.

Ці чотири властивості множини (х) є характеристичними.

Твердження. Якщо кожному елементу х множини X поставлена у відповідність множина (х) підмножин з X так, що при цьому мають місце властивості (VІ), (VІІ), (VІІІ) і (VIV), то в X існує, і притому єдина, топологічна структура, для якої (х)служить множиною всіх околів х при будь-якому xX

Якщо необхідна топологічна структура існує, то множиною всіх відкритих множин цієї топології служить множина всіх таких множин А з X, що А (х) для будь-якого х А; звідси випливає єдиність цієї топології, якщо остання існує. Але множина очевидно задовольняє аксіомам (ОІ) і (ОІІ); для (ОІ) це випливає безпосередньо з (VІ), а для (ОІІ) - з (VІІ). Залишається переконатися в тому, що для топології, визначеної множиною , (х) є множиною всіх околів точки х для кожного х X З (VІ) випливає, що будь-який окіл точки х належить (х).. Навпаки, нехай V(х), і U- множина тих точок у, для яких V(y) ; покажемо, що xU, UV і U, чим доведення і буде завершено. Але xU, бо V(х); U V, бо будь-яка точка у U належить V в силу (VІІІ) і припущення, що V (y). Значить, залишається показати, що U, тобто що U(y) для всіх yU, але якщо yU, то згідно (VІV) існує така множина W (y), що V (z) при будь-якому zW. Оскільки V(z) означає, що zU, то WU, звідки в силу (VІ), U (y) що і потрібно було довести.

3. Фундаментальні системи околів; базиси топології

Означення. Фундаментальною системою околів точки х в топологічному просторі X називають всяку множину околів х, що володіє тією властивістю, що для будь-якого околу V точки х існує окіл W такий, що WV.

Таким чином, якщо - фундаментальна система околів множини А в X, то всякий перетин скінченого числа множин з містить деяку множину з .

Означення. Базисом топології топологічного простору X називають всяку множину Я відкритих множин з X, таку, що будь-яка відкрита множина в X є об'єднанням множин, що належать Я .

4. Замкнуті множини

Означення. Замкнутими множинами в топологічному просторі X називають доповнення відкритих множин.

(О’І) Всякий перетин замкнутих множин є замкнута множина.

(О’ІІ) Об'єднання будь-якого сімейства замкнутих множин є замкнута множина.

Порожня множина і весь простір X замкнуті.

Покриття (Fі)іІ множини А в топологічному просторі X називається замкнутим, якщо всі Fі замкнуті в X.

Гомеоморфізм f топологічного простору X на топологічний простір X' може бути ще охарактеризований як бієкція X на X', при якій образ всякої замкнутої множини з X є замкнута множина в X', а прообраз всякої замкнутої множини з X' є замкнута множина в X.

5. Локально кінцеві сімейства

Означення. Сім’ю (Aі)іІ підмножин топологічного простору X називають локально кінцевою, якщо для будь-якої точки х X існує такий її окіл V, що VАі = Ш для всіх, окрім скінченого числа, індексів іI. Множину підмножин з X називають локально кінцевою, якщо локально кінцевою є сім ’я множин, визначена тотожним відображенням на себе.

Твердження. Об'єднання локально кінцевої сім ’ї замкнутих множин топологічного простору X замкнуте в X.

Справді, нехай (Fі)іІ - локально кінцева сім ’я замкнутих множин в X і нехай точка х X не належить F=; існує окіл V точки х, що має непорожній перетин тільки з множинами Fі індекси яких утворюють в І кінцеву підмножину J. З іншого боку, для будь-якого i J множина Ui=Fi відкритa і містить х; звідси маємо, що F містить околи V точки х. Отже, F відкрита.

6. Внутрішність, замикання, межа множини; скрізь щільні множини

Означення. Точку х топологічного простору X називають внутрішньою точкою множини А, якщо А є околом х. Множина всіх внутрішніх точок множини А називається його внутрішністю і позначається Е

Для того, щоб множина була відкритою, необхідно і достатньо, щоб воно співпадало з своєю внутрішністю.

Будь-яка точка , внутрішня одночасно для двох множин А і В, буде внутрішньою і для А