Означення. Кажуть, що х є точка дотику множини А в топологічному просторі X, якщо будь-який її окіл перетинається з А. Множина всіх точок дотику множини А називають її замиканням і позначають .

Для замкнутості множини необхідно і достатньо, щоб вона співпадала з своїм замиканням.

Означення. Точку х топологічного простору X називають граничною точкою множини А, якщо вона є точкою дотику одночасно для А і для СА; множина всіх граничних точок множини А називають межею цієї множини.

Таким чином, межею множини А служить замкнута множина . Гранична точка х множини А характеризується тим, що будь-який її окіл містить принаймні одну точку з СА; сама точка х може як належати, так і не належати А. Межа А співпадає з межею СА; якщо взяти внутрішність А, зовнішність А і межу А, то ті з цих трьох множин, які не порожні, утворюють розбиття простору X.

Означення. Кажуть, що підмножина А топологічного простору X щільна в X , якщо =Х, тобто якщо для будь-якої непорожньої відкритої множини U з X перетин U А не порожній..

Твердження. Якщо Я - базис топології топологічного простору X, то в X існує така скрізь щільна множина D, що Card(D)Card ( Я).

ІІ. Неперервні функції

1. Неперервні функції

Означення. Відображення f топологічного простору X на топологічний простір X' називають неперервним в точці х0, , якщо для будь-якого околу точки f(х0) в X' існує окіл V точки х0 в X такий, що з хV випливає

f (х).

Твердження. Нехай f - відображення топологічного простору X в топологічний простір X' . Якщо f неперервне в точці х, а х - точка дотику множини А в X, то f (х) - точка дотику множини f (А) в X' .

Справді, нехай - окіл точки f (х) в X'; оскільки f-1() є окіл точки х в X, існує точка у А f-1() звідки f (у) f (А) ; цим доведено, що f (х) - точка дотику множини f (А).

Твердження. Нехай X , X', X" - топологічні простори, f- відображення X в X', неперервне в точці хХ, g- відображення X' в X", неперервне в точці f (х). Тоді складене відображення h=gf простору X в X" неперервне в точці х

Означення. Відображення топологічного простору X в топологічний простір X' називають неперервним на X , якщо воно неперервне в кожній точці з X.

Приклади. 1) Тотожне відображення топологічного простору X на себе є неперервне.

2) Постійне відображення топологічного простору в топологічний простір неперервне.

3) Всяке відображення дискретного простору в топологічний простір неперервне.

Теорема. Нехай f - відображення топологічного простору X в топологічний простір X'; наступні властивості рівносильні:

а) f неперервне на X;

б) f () для будь-якого АХ;

в) прообраз всякої замкнутої множини із X' є замкнута множина в X;

г) прообраз всякої відкритої множини з X' є відкрита множина в X.

Ми вже бачили, що з а) випливає б). Покажемо, що з б)випливає в): нехай F' - замкнута множина в X' і F=f-1(F'); за припущенням маємо f(=F', звідки f-1(F')= F, тобто F=і F замкнуте, з в) випливає г) внаслідок того, що cf---1(А')=f-1(c А') для будь-якого .А'Х'. Нехай виконано г); для будь-якого х X і будь-якого околу V’ точки f(x) у X' Існує відкрита множина А' в X' така, що f(x) А' V’: тоді xf-1(А')f-1(V’), оскільки f-1(А') відкрите, f-1(V’) є околом точки х в X, чим доведено, що з г) випливає а).

Теорема. 1. Нехай f: ХХ' і g: Х'Х"- неперервні відображення, тоді gf:ХХ" неперервна.

2. Для того, щоб бієкція f топологічного простору X на топологічний простір X' була гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб і f і обернена до f бієкція g були неперервні.

Зауваження. Може існувати неперервна бієкція топологічного простору X на топологічний простір X', яка не є взаємно неперервною: приклад одержимо, узявши за X' раціональну пряму Q, а за X - множину Q, наділену дискретною топологією; тотожне відображення XХ' буде неперервне, але не буде гомеоморфізмом.

2. Порівняння топологій

Означення. Нехай дані топології ф1 і ф2 , в одній і тій же множині X; говорять,що ф1 мажорує над ф2, якщо тотожне відображення X1X2 , де Хi - множини X, наділене топологією фі (і=1,2), неперервне. Якщо, крім того ф1ф2, то говорять, що ф1 сильніше ф2.

Твердження. Нехай ф1, ф2 - топології в множині X. Наступні твердження рівносильні:

а) ф1 мажорує над ф2.

б) Яким би не було хХ, будь-який окіл х в топології ф2 є околом х в топології ф1.

в) Для будь-якого АХ замикання А в топології ф2 містить замикання А в топології ф1.

г) Всяка множина з X, замкнута в ф2, замкнута в ф1.

д) Всяка множина з X, відкрита в ф2, відкритав ф1.

Зауваження. 1) У впорядкованій множині топологій в множині X дискретна топологія найсильніша, а топологія, єдиною відкритою множиною якої є Ш і X, найслабкіша.

2) Чим топологія сильніша, тим більше відкритих множин, замкнутих множин, околів; замикання множини тим менше, чим топологія сильніша; чим топологія сильніша, тим менше скрізь щільних множин.

3) Неперервне відображення f: ХХ' залишиться неперервним при заміні топології в X мажоруючою топологією. Інакше кажучи, неперервних відображень X в X' тим більше, чим топологія в X сильніша, а топологія в X' слабкіша.

3.Ініціальні топології

Твердження. Нехай X – множина, (Yi)iI –