сім’я топологічних просторів, fi для будь-якого iI- відображення X в У. Нехай - множина всіх підмножин X виду f-1i(Ui) і Я – множина перетинів кінцевих сімейств множин з . Тоді Я є базис топології ф в X, яка є ініціальною топологічною структурою в X щодо сім’ї ( fi), i зокрема, слабшою з тих топологій в X, при яких всі ( fi) неперервні. Кажучи точніше, для того, щоб відображення g топологічного просторуZ в X було неперервне в точці zZ, необхідно і достатньо, щоб кожна з функцій fig була неперервна в точці z.
Твердження. Нехай X – множина, (Zi)iI – сім’я топологічних просторів, (J)L- розбиття I і (Y)L- сім’я множин, що має L своєю множиною індексів. Нехай h для кожного L- відображення X в Y, a gi для будь-яких L і i J - відображення Yв Zi; покладемо тоді fi= gi h. Наділимо кожне Y слабшою із топологій, при яких всі gi неперервні, тоді слабша з топологій в X, при яких неперервні всі fi, співпадає із слабшою із топологій, при яких неперервні всі h.
ІІІ. Підпростори; факторпростори
1. Підпростори топологічного простору
Означення. Нехай А - множина в топологічному просторі X. Топологією, що індукується в А топологією простору X, називається топологія, відкритими множинами якої служать сліди на А відкритих множин з X. Множина А, наділене цією топологією, називається підпростором простору X .
Множина, відкрита в підпросторі А, не обов’язково є відкритою в X: для того, щоб будь-яка відкрита множина в А було відкритою в X, необхідно і достатньо, щоб А була відкритою в X.
Замкнуті множини в А - це сліди на А замкнутих множин з X, як і вище, переконуємося, що для того, щоб будь-яка замкнута множина в А було замкнутою в X, необхідно і достатньо, щоб А була замкнута в X.
Околи точки х А відносно А - це сліди на А околів х відносно X; для того, щоб будь-який окіл точки х відносно А був околом точки х відносно X, необхідно і достатньо, щоб А була околом точки х в X.
Твердження. Якщо А і В -- підмножини топологічного простору X, причому В А, то замикання множини В в підпросторі А є слід на А замикання множини В в X.
2. Неперервність щодо підпростору
Нехай X,Y - топологічні простори, f- відображення X вY, В - множина в Y, що містить f(X). Визначення індукованої топології як ініціальної топології показує, що для неперервності f у точці х X необхідно і достатньо, щоб відображення простору X в підпростір В простору Y, що має той же графік, що і f, було неперервне в точці х.
Нехай тепер А - множина в X; якщо f неперервне в точці х А, то його звуження fА є відображенням підпростору А вY, неперервне в точці x.
Якщо А - окіл точки хА в X і f: ХYтаке, що fА неперервне в точці х, то і f неперервне в точці х, бо всякий окіл точки х відносно А буде околом х відносно X (локальний характер неперервності).
Твердження. Нехай (Аі)іІ - сім’я підмножин топологічного простору X, внутрішність яких утворює відкрите покриття останнього, або яке є локально кінцевим замкнутим покриттям простору X. Нехай f- відображення X в топологічний простір X'. Якщо звуження f на кожному з підпросторів Аі неперервне, то f неперервне.
3. Локально замкнуті підпростори
Означення. Підмножина L топологічного простору X називається локально замкнутою в точці хL, якщо існує такий окіл V точки х в X, що LV замкнутий щодо підпростору V. L називається локально замкнутою в X, якщо вонa локально замкнутa в кожній своїй точці.
Твердження. Для підмножини L топологічного простору X наступні умови рівносильні:
а) L локально замкнутa;
б) L є відкрита підмножина свого замикання в X;
в)L є перетин відкритої і замкнутої підмножин простору X.
Очевидно, що з б) випливає в), оскільки L є тоді перетин з відкритою підмножиною простору X; з в) випливає а). Нарешті, з а) випливає б): насправді, тоді кожна точка х L володіє відкритим околом U, для якого UL замкнутий в U; тому U= UL, а це показує, що точка х - внутрішня до L в підпросторі , так що L відкрито в .
Наслідок. Нехай f: ХХ' - неперервне відображення; тоді прообраз f-1(L’) будь-якої локально замкнутої множини L’з X' локально замкнутий в X.
IV. Добуток топологічних просторів
1. Добуток просторів
Означення. Нехай дано сім’ю (Хi)iI, топологічних просторів; їх добутком називають множину X = , наділену добутком топологій просторів Хi, Хi (іІ) називають просторами-співмножниками добутку X.
Твердження. Нехай f=(fi)- відображення топологічного простору Y в простір X = . Для того, щоб f було неперервне в точці а Y, необхідно і достатньо, щоб всі fi були неперервні в точці а.
Твердження (асоціативність топологічного добутку). Нехай (Хi)iI – сім’я топологічних просторів, (J)- розбиття множини I і Х’=, для кожного - добуток просторів Xi з індексами i. Канонічне відображення простору на простір є гомеоморфізм.
Твердження. Нехай X – множина, (Yi)iI- сім’я топологічних просторів і fi для кожного іІ- відображення X в Yi. Нехай, далі f - відображення x( fi(x)) множини X в Y=, і ф - слабша з топологій в X, при яких неперервні всі