2.Замикання в добутку

Твердження. В добутку , топологічних просторів Xі, замикання добутку множин Аі співпадає з добутком , їх замикань.

Наслідок . Для того, щоб добуток непорожніх множин було замкнутим у просторі .- необхідно і достатньо, щоб Аі, було замкнутим в Хі при будь-якому і.

.

Твердження. Нехай а=(аі)- точка простору X=; множина D тих точок хХ, у яких рr ix=аi для всіх, крім скінченого числа, індексів і, скрізь щільна в X.

V. Відкриті і замкнуті відображення

1. Відкриті і замкнуті відображення

Означення. Нехай X і X'- топологічні простори. Кажуть, що відображення f:ХХ' відкрите(замкнуте), якщо образ при відображенні f всякої відкритої ( замкнутої) множини з X відкритий ( замкнутий) в X'.

Зокрема, f (Х ) є тоді відкритою (замкнутою) множиною в X'.

Приклади.1) Нехай А - підпростір топологічного простору X; для того, щоб канонічна ін'єкція j: АХ була відкритою ( замкнутою), необхідно і достатньо, щоб А була відкритою ( замкнутою) в X.

2) Для того, щоб бієкція f топологічного простору X на топологічний простір X' була гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб вона була неперервною і відкритою або безперервною і замкнутою.

Твердження. Нехай X, X' і X"- топологічні простори f:ХХ' і g: Х' X"- відображення. Тоді:

а) Якщо f і g відкриті (замкнуті), то g f відкрита (замкнута).

б) Якщо g * f відкрита ( замкнута), а f сюр'ективне і неперервне, то g відкрите (замкнуте).

в) Якщо g ° f відкрита ( замкнута), а g ін'єктивне і неперервне, то f відкрите ( замкнуте).

Твердження а) безпосередньо випливає з означення. Для доведення б) досить припустити, що всяка відкрита ( замкнута) множина А' в X' записується у вигляді А'= f (А); де А= f-1 (А') відкрита ( замкнута) в X ; таким чином g(А')= g (f (А)) відкрита ( замкнута) в X". Нарешті, щоб довести в), відмітимо, що для будь-якої множини АХ маємо f (А)= g-1(g (f (А))); за припущенням, якщо А відкрита ( замкнута) в X, то g (f (А)) відкрита ( замкнута) в X", і, отже f (А) відкрита ( замкнута) в X'.

2. Відкриті і замкнуті відношення еквівалентності

Означення. Відношення еквівалентності R в топологічному просторі X називають відкритим ( замкнутим), якщо канонічне відображення X на Х/R відкрите ( замкнуте).

Твердження. Нехай X і Y- топологічні простори, f : ХY - неперервне відображення, R – відношення еквівалентності f (х)= f (у) в Х і X Х/Rf(X)Y канонічний розклад f. Наступні три властивості рівносильні :

а) f - відкрите відображення.

б) Відображення p, h, i-відкриті.

в) Відношення еквівалентності R відкрите, h -гомеоморфізм і f(X)- відкрита множина в Y.

Крім того, все попереднє залишається в силі , якщо усюди замінити «відкрите» на «замкнуте».

Твердження. Нехай R - відкрите (замкнуте) відношення еквівалентності в топологічному просторі X , f - канонічне відображення Х Х/R , А - множина в X.

Припустимо, що виконується одна з наступних двох умов:

а) А відкрита (замкнута) в X.

б) А насичене по R.

Тоді відношення RА, що індукується відношенням R в А, відкрите (замкнуте) і канонічне відображення простору A/RА на f(A) є гомеоморфізмом.

3. Спеціальні властивості замкнутих відображень

Твердження. Нехай X і Х'-топологічні простори. Для того, щоб відображення f: XX' було неперервним і замкнутим, необхідно і достатньо, щоб f()=для будь-якої множини .

Умова достатня, бо замкнутість f випливає очевидним чином, а неперервність f випливає з теореми. Навпаки, якщо f неперервне і замкнуте, то f(A) f() з теореми 1 § 2; а оскільки, крім того, f() замкнуте в X' по припущенню, то f()=.

Твердження. Нехай R - відношення еквівалентності в топологічному просторі X. Для того, щоб R було замкнутим, необхідно і достатньо, щоб всякий клас еквівалентності М по R володів фундаментальною системою околів, насичених по R.

Насправді, припустимо, що R замкнуте, і хай U – довільний відкритий окіл класу М; оскільки F=cU замкнуте в X, насичення S множини F до R замкнуте в X. Так як при цьому М насичене по R, то MS=Ш, і, отже, V=cS є відкритим околом М, що насичена по R і міститься в U.

Тепер припустимо, що R задовольняє умові твердження і нехай F - довільна замкнута множина в X. Нехай Т - насичення F по R, х - точка з cТ і М - її клас еквівалентності; маємо MT= Ш і, тим більше, М=Ш, тобто U=cF – окіл М. Отже, існує окіл V U класу М, насичена по R, і так як V F = Ш i маємо також VT=Ш; звідси випливає, що cТ є околом класу М, а тим самим і точки х; цим доведено що cТ відкрите, тобто Т замкнуте.

VI. Віддільні і регулярні простори

1. Віддільні простори

Твердження. Нехай X - топологічний простір. Наступні твердження рівносильні:

(Н) Які б ні були різні точки х і у в X, існують окіл точки х і окіл точки у, що не мають спільних точок.

(НІ) Перетин всіх замкнутих околів довільної точки з X є множина, що зводиться до однієї цієї точки.

(НІІ) Діагональ простору ХХ є замкнута множина.

(НІІІ) Для будь-якої множини I діагональ простору Y = X' замкнута в Y.

(HIV) Жоден