(HV) Якщо фільтр в X має границю х, то х - його єдина точка дотику. Доведемо:

HHІ HVHIV H і H НІІІ НІІ H

(Н)( НІ): Насправді, якщо ху, то існує відкритий окіл U точки х і відкритий окіл V точки у такі, що UV=Ш; отже, y.

(HІ) HV: Нехай ух; є замкнутий окіл V точки х такий, що yV, і по припущенню існує таке М , що MV; звідси випливає, що М cV=Ш, а оскільки cV - окіл точки у, то у не є точкою дотику для .

(HV) (HIV): Це очевидно, оскільки всяка границя фільтру є точкою дотику цього фільтру.

(HIV)(H): Якщо всякий окіл V точки х перетинається зі всяким окоом W точки у, то множини V W утворюють базис фільтру, що має своєю границею в X як х, так і у. Звідси і випливає істинність твердження.

(Н)(НІІІ): Нехай x=(xі) – точка з XІ, що не належить , так що є принаймні два індекси для яких . Нехай і - околи точок і в X такі, що =Ш, тоді множина W= є околом точки х в XІ, не перетинна з А, що і доводить замкнутість в XІ.

(НІІІ)(НІІ): Очевидно.

(НІІ) (Н): Якщо ху, то точка (х, у) ХХ не належить діагоналі, так що існує окіл V точки х і окіл W точки у такі, що (V W) =Ш, а це означає, що V W=Ш.

Означення. Топологічний простір X, що задовольняє умовам попереднього твердження, називається віддільним (гаусдорфовим) простором; його топологія називається віддільною (гаусдорфовою).

Аксіома (Н) називається аксіомою Гаусдорфа.

Твердження. Нехай f і g - неперервні відображення топологічного простору X у віддільний простір Y; тоді множина тих хХ, для яких f(x)= g(x), замкнута в X.

Насправді, ця множина є прообразом діагоналі добутку YY щодо неперервного відображення x (f(x), g(x)) простору X в YY; звідси слідує справедливість твердження.

Твердження. Нехай (xi)1in- кінцеве сімейство попарно різних точок віддільного простору X; тоді для кожного індексу і існує такий окіл Vi, - точки xi в X, що множини Vi(1in) попарно не перетинаються.

Проведемо доведення індукцією по п. При п=2 твердження, яке ми доводимо є ні що інше, як аксіома (Н). Нехай тепер Wі - попарно неперетинні околи точок xi. Для кожного і (1іn-1) існують околи точки xi і околи Uі точки хn, що мають порожній перетин. Поклавши тоді Vi = Wі для 1іn-1 і Vn=

одержимо потрібні околи.

2. Продовження по неперервності. Подвійна границя

Теорема. Нехай X - топологічний простір, А - скрізь щільна множина в X і f: AY - відображення множини А в регулярний простір Y. Для того щоб існувало неперервне відображення: XY, що продовжує f, необхідно і достатньо, щоб, яким би не було хХ, f(y) прямувало до деякої границі в Y , коли у прямує до х, залишаючись в А. Неперервне продовження відображення f на X тоді єдине.

Єдиність випливає з принципу продовження тотожності . Необхідність умови очевидна, бо якщо неперервне на X, то для будь-якого хХ маємо (х)=(y)=f(y). Навпаки, якщо умова теореееми виконується, то для будь-якого xX покладемо (x) рівним f(y)- цілком визначеному елементу простору Y , оскільки Y віддільний. Залишається довести неперервність f в кожній точці хХ. Нехай V’ –замкнутий окіл точки (х) в Y; по припущенню, існує такий відкритий окіл V точки х в X, що f(V A)V’; оскільки V є окіл кожній своєї точки, то для будь-якого zV маємо (z)= f(y), звідки (z) , оскільки замкнутий. Справедливість твердження випливає, таким чином, з того, що замкнуті околи точки f(x) утворюють фундаментальну систему її околів в Y .

Говорять, що відображення одержано продовженням f на X по неперервності.

3. Відношення еквівалентності в регулярному просторі

Твердження. Нехай R - замкнуте відношення еквівалентності в регулярному просторі X; тоді графік C відношення R замкнутий в ХХ.

Нехай (а,b) - точка дотику множини C в ХХ і V (W) - замкнутий окіл точки а (окіл точки b) в X; по припущенню існує (х, у) C (VW). Оскільки xV, точка у належить насиченню S околу V по R; значить, WSШ для будь-якого околу W точки b, і так як S за припущенням замкнуте, то bS. Нехай В - насичення множини { b } по R; тоді VBШ для будь-якого замкнутого околу V точки а; оскільки за припущенням В замкнута, а X регулярний, то аВ і, значить (а,b) С, що і завершує доведення.

Наслідок. У регулярному просторі всяке одночасно відкрите і замкнуте відношення еквівалентності віддільне.

Твердження. Нехай X - регулярний простір, F - непорожня замкнута множина в X і R - відношення еквівалентності, що одержується ототожненням один з одним всіх точок з F . Тоді факторпростір X/R віддільний.

Насправді, нехай М і N - два різні класи еквівалентності в X. Якщо кожний з них зводиться до однієї точки з сF, то у віддільному просторі сF існують неперетинні відкриті околи множин М і N, і вони є насиченими по R неперетиннними околами множин М і N в X. Якщо M=F, а N= {b }, де bF, то за припущенням існують відкриті околи точки b і не перетинний з нею відкрий окіл