Відзначимо, що факторпростір X/R не обов'язково регулярний .

VII. Компактні і локально компактні простори

1. Квазікомпактні і компактні простори

Означення. Топологічний простір X називається квазікомпактним, якщо він задовольняє наступній аксіомі:

(C) Всякий фільтр в X має принаймні одну точку дотику.

Топологічний простір називається компактним, якщо він квазікомпактний і віддільний.

Ми сформулюємо три аксіоми, рівносильні аксіомі (С): () Всякий ультрафільтр в X сходиться.

З () випливає (С), бо якщо - фильтр у X, то існує мажоруючий його ультрафільтр , і так як цей ультрафільтр сходиться до деякої точки х, то х є точка дотику для .

З (С) випливає (), бо якщо ультрафільтр має точку дотику, то він сходиться до цієї точки.

() Всяке сімейство замкнутих множин в X, перетин якого порожній, містить кінцеве підсімейство з порожнім перетином.

З (С) випливає (); насправді, нехай - сімейство замкнутих множин в X, перетин якого порожній; якби перетин кожної кінцевого підсімейства з був не порожній, то породжувало б фільтр , який згідно (С) мав би точку дотику; але ця точка належала б всім множинам з через їх замкнутість, а це суперечить припущенню.

Навпаки, з заперечення (С) випливає заперечення () , бо якщо - фільтр, що не має точок дотику, то замикання множин з утворюють сімейство замкнутих множин, для якого не виконується ().

() (аксіома Бореля - Лебега). Всяке відкрите покриття простору X містить кінцеве відкрите покриття цього простору.

()випливає з () переходом до доповнень, так що ці аксіоми еквівалентні.

Якщо X квазікомпактний, то всяке локально кінцеве покриття простору X кінцеве, бо тоді в силу () існує покриття простору X, що складається з скінченного числа відкритих множин, кожназ яких перетинається лише з скінченним числом множин з .

Теорема . Нехай А - множина всіх точок дотику фільтру в квазікомпактному просторі X. Тоді кожний окіл множини А належить .

2. Регулярність компактного простору

Твердження. Нехай X - компактний простір і х - точка з X. Для того, щоб базис фільтру Я, утворений замкнутими околами точки х, був фундаментальною системою околівь цієї точки, необхідно і достатньо, щоб перетин множин з Я складався з однієї точки х.

Твердження. Нехай А і В - неперетинніі замкнуті множини в компактному просторі X; тоді існують неперетиннинні відкриті множини U іV такі, що AU і BV.

Припустимо протилежне, тобто що будь-який окіл U множини А і будь-який окіл V множини В перетинаються. Тоді множина UV утворюють базис фільтру Я в X, який матиме точку дотику хХ. Остання повинна належати А, бо через регулярність X у будь-якій точці у А існує окіл, який не перетинається з деяким околом множини А, і, отже, у не може бути точкою дотику для Я. Таким же чином встановлюється, що хВ. Отримана суперечність доводить твердження.

3. Квазікомпактні, компактні і відносно компактні множини

Означення. Підмножина А топологічного простору X називається квазікомпактною (компактною), якщо підпростір А квазікомпактний (компактний).

Твердження.У квазікомпактному (компактному) просторі всяка замкнута множина квазікомпактна (компактна).

Досить застосувати аксіому () , відмітивши, що якщо А замкнута в просторі X, то всяка замкнута множина в А замкнуто в X.

Твердження. У віддільному просторі всяка компактна множина замкнута.

Нехай А - компактна множина у віддільному просторі X і х - довільна точка з ; покажемо, що хА. За припущенням слід на А всякого околу точки х не порожній, і тому фільтр Я околів цієї точки в X індукує в А фільтр Я; оскільки А компактна, то Я має точку дотику у А. Але фільтр Я мажорується фільтром в X, породженим Я тому у є також точкою дотику для Я. А тоді у = х, бо Я має х своєю межею в X, а X віддільний.

.

Означення. Множина А в топологічному просторі X називається відносно квазікомпактниою (відносно компактною) в X, якщо А міститься в деякій квазікомпактній (компактномій) множині з X.

Коротко говорять також, що А «відносна квазікомпактна» ( «відносно компактна») множина, коли не може бути неясності щодо X. У віддільному просторі поняття щодо квазікомпактної і щодо компактної множин співпадають.

4. Образ компактного простору при неперервному відображенні

Теорема . Якщо f - неперервне відображення квазікомпактного простору X в топологічний простір X', то множина f(X) квазікомпактна.

Насправді, нехай - покриття множини f(X) відкритими множинами з Х', тоді f -1()є відкрите покриття простору X і, отже, існує кінцева підмножина множини така, що f -1 () є покриття X; але тоді буде покриттям множини f(X), і теорема доведена.

Наслідок 1. Нехай f - неперервне відображення топологічного простору X у віддільний простір X'; тоді образ будь-якої квазікомпактної множини з X є компактна множина в X'.

Наслідок 2. Всяке неперервне відображення f квазікомпактного простору X у віддільний простір X' замкнуте; якщо, крім того, f бієктівне, то f є гомеоморфізм.

5.Добуток компактних просторів

Теорема (Тіхонов). Всякий добуток квазікомпактних (компактних) просторів квазікомпактний (компактний). Навпаки, якщо добуток непорожніх топологічних просторів квазікомпактний (компактний), то кожний з просторів-співмножників квазікомпактний (компактний).

Зважаючи на характеризацію віддільних добутків все зводиться до доведення тверджень про квазікомпактні простори. Якщо Х= квазікомпактний і не

порожній, то Xі для будь-якого і квазікомпактне , оскільки Xі=pri(X). Навпаки, припустимо, що всі Xі квазікомпактни і U -