Наслідок. Для того щоб множина в добутку топологічних просторів була відносноквазікомпактна, необхідно і достатньо, щоб кожна її проекція була відносноквазікомпактна у відповідному просторі-співмножнику.

6. Локально компактні простори

Означення. Топологічний простір X називається локально компактним, якщо він віддільний і всяка його точка має компактний окіл.

Очевидно, всякий компактний простір локально компактний; але зворотне невірно: наприклад, всякий дискретний простір локально компактний, але у випадку, якщо він нескінченний, він є некомпактний.

Твердження. Всякий локально компактний простір регулярний.

Насправді, всяка точка х локально компактного простору X має компактний окіл V; оскільки X віддільний, то V замкнутий, з іншого боку, V - регулярний підпростір і, значить, X регулярний.

Наслідок. У локально компактному просторі всяка точка володіє фундаментальною системою компактних околів.

Насправді, перетин будь-якого замкнутогооколицу точки х з компактним околом цієї точки є компактним околиом точки х .

Відзначимо, що існують невіддільні топологічні простори, в яких всяка точка має фундаментальну систему компактних околів.

Твердження. У локально компактному просторі X всяка компактна множина K володіє фундаментальною системою компактних околів.

Насправді, нехай U – довільний окіл множини K; для будь-якого хK існує компактний окіл W(x) точки х, що міститься в U. Коли х пробігає множину K, внутрішність множини W(x) утворює його відкрите покриття, отже, існує скінченне число точок хі K таких, що внутрішність множини W(xі) утворює покриття множини K; об'єднання V множин W(xі) і буде тоді компактним околом множини K, що міститься в U .

Твердження.Нехай F - множина в локально компактному просторі X така, що її перетин FК з будь-якою компактною множиною K з X компактний; тоді F замкнуте в X.

Твердження. У віддільному просторі X всякий локально компактний підпростір А локально замкнутий.

Насправді, кожна точка х А володіє по припущенню околом V в X таким, що VA компактний і, отже, замкнутий в V .

7. Локально компактні простори, зліченні в нескінченості

Означення. Говорять, що локально компактний простір X зліченний в нескінченності, якщо він є зліченним об'єднанням компактних множин.

Твердження. У локально компактному просторі X, зліченному в нескінченності, існує послідовність (Un) щодо компактних відкритих множин, які утворють покриття X і таких, що Un+1 для кожного п.

Насправді, X є об'єднання послідовності (Кп) компактних множин. Хай U1 - відносно компактний відкритий окіл множини К1; визначимо по індукції Un для n>1 як відносно компактний відкритий окіл множини Un-1 Кп ясно, що Un утворюють необхідну послідовність.

8. Паракомпактні простори

Означення. Топологічний простір X називають паракомпактним, якщо він віддільний і задовольняє наступній аксіомі:

(PC) Для будь-якого відкритого покриття K простору X існує локально кінцеве відкрите покриття K’ простору X, мажоруюче над K .

Очевидно, всякий компактний простір паракомпактний. Всякий дискретний простір X паракомпактний, бо відкрите покриття, утворене всіма одно- точковими множинами, локально скінчене і мажорує будь-яке відкрите покриття простору X

Твердження. Всякий замкнутий підпростір F паракомпактного простору X паракомпактний.

Насправді, F віддільний. З іншого боку, нехай (Vі) - відкрите покриття в підпросторі F. Кожне Vі має вигляд Vі= UiF, де Ui - відкрита множина в X. Розглянемо відкрите покриття K простору X, що складається з сF і всіх Uі; існує локально кінцеве відкрите покриття K’ простору X, мажоруюче K , і сліди на F множин із K’ утворюють локально кінцеве відкрите покриття простору F, що мажорує дане покриття (Vі).

Твердження. Сума X сімейства паракомпактних просторів (Xі)іІ паракомпактна.

Насправді, нехай (V) - відкрите покриття простору X; покриття, утворене відкритими множинами Xі V , мажорує (V). Нехай ()для кожного іІ- локально кінцеве відкрите покриття простору Хі мажорує (; тоді відкрите покриття простору X, утворене множинами ,локально скінчене і мажорує (V).

VIII. Ідеальні відображення

1. Ідеальні відображення

Якщо f:XY і : - замкнуті неперервні відображення, добуток f не обов'язково є замкнуте відображення.

Означення. Нехай f - відображення топологічного простору X в топологічний простір Y. f називається ідеальним відображенням, якщо воно неперервне і для будь-якого топологічного простору Z відображення замкнуте.

Твердження. Всяке ідеальне відображення замкнуте.

Твердження. Нехай f: XY - ін'єктивне неперервне відображення. Тоді наступні три умови рівносильні:

а) f ідеальне.

б) f замкнуте.

в) f є гомеоморфізм простору X на замкнуту множину в Y.

Твердження. Нехай f:XY - неперервне відображення; для кожного позначимо через f відображення множини у Т, співпадаюче з f на.

а) Якщо f ідеальне, то і f ідеальне.

б) Нехай (T(i)) - сімейство множин в У, внутрішність яких утворюють покриття простору Y або які утворюють локально кінцеве замкнуте покриття цього простору; якщо всі ідеальні, то і f ідеальне.

Нехай Z - топологічний простір. Для кожного TY маємо ; якщо f ідеальне, то замкнуте, а значить, і замкнуте чим а)і доведено. Якщо тепер (T(i))володіє однією з властивостей, сформульованих в б), то покриття простору YZ володіє тією ж властивістю; якщо всі ідеальні, то все замкнуті і, значить замкнуте, що і завершує доведення.

2. Характеризація ідеальних відображень властивостями компактності

Лема. Топологічний простір X, для якого відображення ХР ідеальне, квазікомпактне.

Теорема. Нехай - неперервне відображення. Наступні чотири властивості рівносильні:

а) f ідеальне.

б) f замкнуте і для кожного y квазікомпактне .

в) Якщо - фільтр в X і уУ - точка дотику базису фільтру f(), то існує