г)ЯкщоU - ультрафільтр в X і yY-межа базису ультрафільтру f(U), то існує межа х ультрафільтру U такий, що f(x)= у.

Лема. Якщо - сімейство неперервних відображень кожне з яких задовольняє умові г), то і їх добуток задовольняє умові г).

Насправді, хай U - ультрафільтр в Х =, і у =() точка в , до якої збігаються f(U). Це означає, що кожен із базисів ультрафільтрів U U)) сходиться до yi .Через умову г) для кожного іІ існує таке , що сходиться до xі; але тоді U сходиться до х= і f(x)=y, що доводить лему.

Твердження. Якщо - ідеальне відображення і K-квазікомпактна множина в Y, то множина квазікомпактна.

.

3. Ідеальні відображення в локально компактних просторах

Твердження. Нехай f - неперервне відображення віддільного простору X в локально компактний простір Y. Для того, щоб f було ідеальним, необхідно і достатньо, щоб прообраз f(K) будь-якої компактної множини KY був

компактний. При цьому якщо f ідеальне, то X локально компактний.

Наслідок. Нехай X і X' - локально компактні простори, а і - компактні простори, що одержуються шляхом приєднання до X і X' відповідно нескінченно видалених точокі . Для того, щоб неперервне відображення було ідеальне, необхідне і достатньо, щоб його продовження таке, що , було неперервне.

IX. Зв'язність

1. Зв'язні простори і множини

Означення. Топологічний простір X називають зв'язним, якщо він не є об'єднанням двох неперетинних непорожніх відкритих множин.

Рівносильне означення одержимо, замінивши слово «відкритих» на «замкнутих»; те ж саме можна виразити , сказавши, що крім всього простору Х і порожньої множини в Х немає відкрито-замкнутих множин.

Якщо Х- зв’язний, А і В- непорожні відкриті множини такі, що АВ=Х, то АВ=Ш.

Твердження. Для того, щоб топологічний простір X був незв'язним, необхідно і достатньо, щоб існувало неперервне сюр’єктивне відображення його в дискретний простір, що містить більш за одну точку.

Якщо А і В - відкриті множини, створюючі розбиття простору X, то ми одержимо неперервне відображення f цього простору на дискретний простір { а, b}, що складається з двох елементів, поклавши f(A)={a} і f(B)= {b}.

2. Факторпростори зв'язного простору

Твердження. Всякий факторпростір зв'язного простору зв'язний.

Твердження. Ненхай X - топологічний простір і R - відношення еквівалентності в X. Якщо фактор простір X/R зв'язний і всі класи еквівалентності по R зв'язні, то X зв'язний.

Міркуючи від супротивного, припустимо, що існує розбиття простору X на дві відкриті множини А і В. Ці множини насичені по R, бо якщо хА, то клас М точки х по R не може перетинатися з В, оскільки тоді множини А М і ВМ утворювали б розбиття М на дві відкритих щодо М множини, що суперечить припущенню. Канонічні образи множин А і В будуть тоді відкритими підмножинами факторпростору X/R, створюючими його розбиття, що неможливе.

3. Зв'язні компоненти

Означення. Зв'язною компонентою точки простору X називають найбільшу зв'язну множину в X, що містить цю точку. Зв'язними компонентами множини А X називають зв'язні компоненти його точок щодо підпростору А простору X.

Твердження. У топологічному просторі X зв'язна компонента будь-якої точки є замкнута множина. Відношення «y належить зв'язній компоненті точки х» є відношенням еквівалентності R { х, у } в X , класами еквівалентності якого служать всілякі зв'язні компоненти в X; факторпростір X/R цілком незв'язний.

Твердження. У добутку зв'язна компонента точки х=(хі) є добуток зв'язних компонент точок в просторах-співмножниках Xі.

Насправді, добуток цих множин зв'язний . З іншого боку, якщо зв'язна множина А з X містить х, то є зв'язна множина , що містить ; оскільки А, то А міститься в добутку зв’язних компонент точок

6. Локально зв'язні простори

Означення. Топологічний простір X називають локально зв'язковим, якщо всяка його точка володіє фундаментальною системою зв'язних околів.

Твердження. Для того, щоб простір X був локально зв'язним, необхідно і достатньо, щоб всяка зв'язна компонента відкритої множини в X була відкритою множиною в X.

Твердження. Всякий факторпростір локально зв'язного простору локально зв'язний.

5. Застосування: теорема Пуанкаре-Вольтерра

Теорема. Нехай X - топологічний простір, що задовольняє аксіомі (ОІІІ) (але не обов'язково віддільний), зв'язний і локально зв'язний. Нехай Y - топологічний простір, топологія якого володіє зліченним базисом, і р:- неперервне відображення, для якого р-1(у) при будь-якому у є дискретний підпростір простору X. Нехай, нарешті, B- множина підмножин простору X, внутрішність яких утворюють покриття X, причому виконані ще наступні умови:

1° Звуження р на будь-яке B є замкнуте відображення V в Y.

2° Всяка множина B містить зліченну скрізь щільну в V підмножину.

Тоді простір X є об'єднанням сімейства відкритих множин, кожна з яких міститься в деякій множині з B.

Лема. Для будь-якої точки хХ існує така виділена пара (W, U), що хW.

Лема. Нехай дана виділена пара (W, U); множина тих виділених пар (, U'), для яких Ш, зліченна.

Наслідок. Нехай Y - регулярний простір, топологія якого володіє рахунковим базисом .Нехай, далі, X- зв'язне локально зв'язний простір і р: XY - неперервне відображення, що володіє наступною властивістю: у кожної точки хХ існує такий замкнутий окіл V в X, що звуження р на V є гомеоморфізм V на замкнутий підпростір простору Y. Тоді X- регулярний простір, топологія якого володіє зліченним базисом.

Наслідок. Нехай X - локально компактний, зв'язний і локально зв'язний простір, кожна точка якого має окіл, що