Хорди це усі інші вітки які не ввійшли до дерева графа.

У подальших розрахунках усе що відноситься до дерева графа, буде позначатись індексом , а все що стосується хорд графа позначатиметься індексом .

Також у нашому графі можна виділити 1 замкнений контур.

Обгрунтування та проведення нумерації віток схем заміщення

В нашій схемі вже вказано нумерацію вузлів, тому нам залишилося лише вказати напрямки віток графу, та їх нумерацію.

Напрямки шляхів графу визначаються таким чином: у дереві графу напрямок обирається від вузла балансу до віток, а вітки хорди по напрямку обходу контуру у якому вони знаходяться.

Нумерують вітки таким чином: вітки дерева нумерують по кінцевих вузлах, усі інші вітки нумеруються довільно (повне зображення графа із нумерацією, напрямками віток та розбиттям на дерево і хорди вказано на рис. ).

Визначення та побудова матриці параметрів режиму і параметрів системи для конкретної електричної мережі

Для направленого графа можуть бути визначені:

1 Матриця зєднання віток в вузлах (перша матриця інциденції)

2 Матриця зєднання віток в незалежні контури (друга матриця інциденції), які служать для узагальненого аналітичного представлення графа Перша матриця інциденції прямокутна матриця , число рядків якої дорівнює числу вершин графа «n», а число стовпців — числу ребер «m» Вона позначається наступним чином:

M = ( m i j ) i = 1n j = 1m

Елементи матриці M можуть приймати одне з трьох значень :

m i j = +1 , якщо вузол і є початковою вершиною вітки j;

m i j = -1 , якщо вузол і є кінцевою вершиною вітки j;

m i j = 0 , якщо вузол і не є вершиною вітки j;

Друга матриця інцеденції – це прямокутна матриця , число рядків якої дорівнює числу незалежних контурів графа, «k» , а число стовпців – числу віток «m». Вона позначається наступним чином:

N ( n i j ), i = 1k , j = 1m .

Елементи матриці N можуть приймати одне з трьох значень :

n i j = + 1, якщо вітка «j» входить в контур «і» і їх напрямки співпадають;

n i j = - 1, якщо вітка «j» входить в контур «і» і їх напрямки не співпадають;

n i j = 0 , якщо вітка «j» не входить в контур «і»

Запишемо першу та другу матрицю інциденції для даного графа

Перша матриця інцеденції:

Перша матриця інцеденції для вузла балансу

Перша матриця інцеденції включаючи вузол балансу

Друга матриця інцеденції:

Складання рівнянь стану електричної мережі та їх розв’язання

Складання рівнянь стану електричної мережі

Запишемо вхідні данні для нашої задачі:

Комплексна одиниця

При визначенні визначального струму ставимо знак «-», якщо у вузлі «і» споживач електричної енергії і знак «+», якщо у вузлі знаходиться джерело електричної енергії.

Стовбцева матриця потужності споживачів ВА

Напруга мережі В

Комплекні опори віток мережі:

Ом

Визначальна матриця струмів

А

Матриця провідностей віток

Ом

Матриця коефіцієнтів розподілу визначальних струмів для дерева графа:

Вибір методу розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь та його опис

Розв`язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь проводимо за допомогою метода Гауса.

Опис методу Гауса.

Розв’язання системи «n» лінійних алгебраїчних рівнянь виду: А * Х = В за алгоритмом Гауса складається із двох етапів. На першому етапі вихідна система за «n» однотипних кроків перетворюється таким чином, що матриця коефіцієнтів перетвореної системи стає верхньою трикутною. На другому етапі послідовно визначаються значення невідомих від Хn до Х1.

Послідовність операцій, які виконуються при прямому ході наступна:

На першому кроці у вихідній системі рівнянь

а11 х1 + а12 х2 + ... + а1n хn = в1

а21 х1 + а22 х2 + ... + а2n хn = в2

.........................................................

аn1 х1 + аn2 х2 + ... + аmn хn = вn

перше рівняння ділиться на а11. Далі х1 виключається із всіх послідовно рівнянь (і=2...n) шляхом множення першого рівняння кожний раз на аі1 і вирахування із і-го рівняння. В результаті цих операцій отримується система рівнянь із матрицею коефіцієнтів :

.................................................

, де

Виконання операцій першого кроку потребують, щоб а11 не дорівнював нулю.

Другий крок полягає у виключенні х2 із рівнянь 3...n, які отримали в першому кроці системи шляхом аналогічних операцій при використанні в якості ведучого елемента аnn).

В результаті система приводиться до вигляду А(2) * Х = В(2)

Третій і наступні етапи виконуються аналогічно. Формули для розрахунку коефіцієнтів системи рівнянь на довільному кроці записуються так:

На останньому кроці (k = n) визначають .

В результаті перетворень матриці коефіцієнтів А вихідна система рівнянь перетвориться у верхню трикутну:

..................................................................................................

Розрахунок та аналіз результатів. Перевірка на відповідність виконання I і II закону Кірхгофа

Матриця контурних опорів:

Ом

Для знаходження контурних струмів запишемо розширену матрицю коефіцієнтів розподілу визначальних струмів для дерева графа:

Також запишемо частину контурного рівняння у вигляді константи:

Запишемо матрицю контурних струмів:

А

Згідно визначення хорд графа запишемо .

А мадрицю струмів у вітках дерева графа:

А.

Тоді матриця струмів у вітках графа:

А.

І спади напруг віток схеми такі:

В

Запишемо матрицю вузлових напруг мережі:

В

В

Напруга джерела буде такою:

В.

Перевірка отриманих результатів за законами Кірхгофа:

Перший закон Кірхгофа:

0

0

Другий закон Кірхгофа:

0

0

Розрахунок потоків потужності на дільницях електричної мережі, сумарних втрат активної і реактивної потужності, найбільшого значення втрат напруги у мережі

Перевірка на відповідність балансу активної та реактивної потужностей у вузлах схеми

Тут проводяться розрахунки по визначенню потоків потужності у вітках схеми, а також сумарних втрат активної та реактивної потужностей.

Визначення матриці повної потужності у вітках схеми проводиться у відповідності з виразом:

де – матриця повної потужності у вітках схеми, розміру (n m);