ДИСКРЕТИЗАЦІЯ СИГНАЛІВ ЗГІДНО ТЕОРЕМ

Дуже часто неперервні сигнали, що надходять з виходу вимірю-вального приладу, не обробляються безпосередньо, а зазнають дис-кретизації, тобто спостерігаються тільки у визначені моменти часу. У загальному випадку спостереження відбуваються періодично через постійний проміжок часу Та. Тоді кажуть, що здійснена дискретизація з частотою Fa - 1 / Та. Розглянемо вплив дискретизації на неперервний сигнал.

Теорема дискретизації доводиться за допомогою часового та час-тотного уявлення сигналів, що є ще одним підтвердженням ефектив-ності перетворення Фур'є, яке зв'язує ці два уявлення. При ідеальній дискретизації час спостереження сигналу нескінченно малий, тобто дискретизація здійснюється за допомогою нескінченно коротких імпульсів, сукупність яких утворює так звану гребінчасту функцію.

Нехай задано сигнал х(і) і х (i) - Х(у). Дискретизація x(t) з часто-тою Fa — це множення функції x(t) на суму імпульсів Дірака, розділених проміжками часу Та = -р. Таку суму імпульсів Дірака можна записати у вигляді

(2.1)

Як відомо, перетворення Фур'є від функції має вигляд

(2.2)

Звідси дістанемо

(2.3)

Позначимо через х(t) дискретизований сигнал. Маємо (2.4)

Останню рівність можна уявити у вигляді

(2.5)

Використовуючи формулу Пуассона, дістанемо співвідношення

(2.6)

З виразу (2.6) випливає, що спектр становить "пері-одичну" функцію з періодом Fa=l/Ta. Нехай Фур'є-образ X(v) дорівнює нулю для |v | ? fc, тобто спектр сигналу x(t) розташований на інтервалі (-fc) завдовжки 2fc. Тоді вірною є теорема дискретизації (теорема Шеннона). Сформулюємо її: для того щоб періодичне повторення спектра, спричинене дискретизацією сигналу, не зміню-вало повторюваний спектр, необхідно й достатньо виконати нерів-ність Fa ? 2fе.

Множимо спектр сигналу xd(t) на прямокутну функцію Пf2(у) (функція П (v) дорівнює нулю за межами інтервалу (-F/2, F/2)) і застосуємо обернене перетворення Фур'є. Використовуючи це співвідношення дістанемо . , .

(2.7)

Замінимо X(t) згідно з формулою. Маємо

(2.8)

Але

(2.9)

Тому

(2.10)

Тут є важливою теоремою, відомою як теорема відновлення (теорема Шен-нона—Котельникова): якщо для частоти дискретизації Fa спра-ведлива нерівність Fa ? 2fc, wsfe —найбільша частота спектра функції x(t), то функція x(t) однозначно відновлюється за дискретними зна-ченнями xk/F), k=0, ±1,±2,....

. Проте така дискретизація може розглядатися лише в тео-ретичному аспекті, оскільки практично неможливо здійснити дис-кретизацію за допомогою вимірювань за безмежно малий проміжок часу.

Дискретизація відбувається за допомогою приладу, імпульсний відгук якого, на відміну від узагаль-неної функції Дірака, розпо-ділений на інтервалі обмеженої довжини 6. Введемо значення дискретизації

(2.11)

З формули випливає, що функцію xd (0 отримана за допомо-гою ідеальної дискретизації функції) можна розглядати як сигнал на виході; фільтра з імпульсним відгуком h.

Дискретизація з усередненням. Розглянемо дискретизацію за допо-могою послідовності імпульсів скінченної ширини. Таким імпульсам відповідають середні значення функції протягом тривалості імпульсу. Обчислимо, не використовуючи отримані вище результати. За функцією яка дорівнює 1 у інтервалі і нулю за межами його, дістанемо

(2.12)

отримаємо вираз для дискретизованої функції

(2.12)

Перейшовши в рівності до Фур'є-образів, маємо

(2.13)

Співмножник x спричинює до зсуву фази, не змінюючи модуль спектральної функції. Спектр X отримаємо із спектра Х(у) за допомогою функції фільтра.

2.1 Дискретизація сигналів скінченної тривалості

Розглянемо сигнал хт (t)d, що дорівнює нулю за межами інтервалу (-Т/2,Т/2). Сигнал xT(t) можна отримати з сигналу x(t) нескінченної тривалості шляхом множення його на прямокутну функцію ПT/2(t)

Оскільки носій функції (носієм функції замикання множини точок у яких функція відрізняється від нуля), необмежений, носій функції Хт (v) також буде необмеженим. Необмеженість носія функції Хт(у) не дає змога провести дискретизацію сигналу хt (t), оскільки у цьому випадку частота дискретизації повинна бути необмежено великою. Отже, строго кажучи, не можна здійснити дискретизацію сигаалу скінченної тривалості.

ВИСНОВОК

Метою даної роботи є :

- визначення видів передач дискретних повідомлень та квантування;

- обробка і дискретизація сигналів згідно теорем;

- вивчення і розробка квантування по рівню, за часом, по рівню і за часом.

Основне питання, яке було розглянуте вище - вивчення методів утворення сигналів. Саме на цьому питанні і грунтувалися всі пункти курсової роботи. Отже, в загальному, квантування – це виробничий процес, який характеризують величини, що приймають випадкові значення.

ПЕРЕЛІК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

Семенцов Г.Н., Борин В.С, Теорія інформації. – Ів.-Франківськ, Факел, 2002.

В.П. Бабак, В.С. Хендецький. Обробка сигналів: Либідь, 1996.

Тутевич В.Н. Телемеханика: - 2-е издание,:Висшая школа, 1985.