(А). Тоді функція f =С-1(А) є нерухомою точкою РО : (f)=С-1(z (С(f)))= =С-1(z (А))=С-1(А)=f . З іншого боку, нехай f ? НТ РО : (f)=f. Тоді множина А=С(f) ? НТ оператора z : z (С(f))=С((f))=С(f).
Приклад 4. Для ЧРО не РО найменшої нерухомої точки може не існувати. Це буває тоді, коли множина А, що є ?ННТ відповідного ОП z , ?неоднозначна. Тоді кожна ВА неоднозначна, тому такий взагалі не має нерухомих точок.
Приклад 5. Знайдемо ННТ оператора : F1>F1, заданого умовою
Оператор неперервний: (х, у)(f) (х, у)() виконується при х=0 для довільної скінченної f, при х>0 ця умова викону-ється для кожної скінченної f такої, що x+1D . Отже, має ННТ fH , яку знайдемо методом послідовних наближень.
Маємо f0=f. Тепер знаходимо f1 та f2:
f1(х)=(f0)(х) = =
f2(х)=(f1)(х) = =
Отже, f2 = f1. Маємо стабілізацію, тому fп = f1 для всіх n>0. Звідси ННТ fH= f1 . Зауважимо, що інші нерухомі точки нашого оператора мають вигляд fТ(х) =
Приклад 6. Знайдемо ННТ оператора : F2>F2, заданого умовою
????
Оператор неперервний: умова (х, у, z)(f) (х, у, z)() виконується при х=0 для довільної скінченної f, при х>0 ця умова виконується для кожної скінченної f такої, що (х, у)D та (х?1, f(х, у))D . Отже, має ННТ fH , яку знайдемо методом послідовних наближень. Маємо f0=f. Тепер знаходимо f1 та f2:
f1(х, у) =(f0)(х, у)) = = =
f2(х, у) =(f1)(х, у)) = = = бо f1(х, у) невизначене при x>0.
Отже, f2 = f1 . Маємо стабілізацію, тому fп = f1 для всіх n>0. Звідси ННТ fH= f1 .
Приклад 7. Знайдемо ННТ оператора : F1>F1, заданого умовою
????
Оператор неперервний: (х, у)(f) (х, у)() виконується при х=0 для довільної скінченної f, при х>0 умова виконується для кожної скінченної f такої, що x?1D . Отже, має ННТ.
Метод послідовних наближень тут вимагає нескінченної кількості кроків, бо fп+1 fп для всіх n0. Тому використаємо обхідні шляхи. Нехай fH ? ННТ нашого оператора. Тоді для кожного хN маємо fН(х)=(fН)(х) = 2х?1+ fН(х?1) = 2х?1+(fН)(х?1) = 2х?1+2х?3+fН(х?2) = … = 2х?1+2х?3+ … +1+fН(0) = 2х?1+2х?3+ … +1+0 = х2. Отже, для всіх хN fН(х) = х2. Тому така fH ? єдина нерухома точка нашого .
Приклад 8. Знайдемо ННТ оператора : F1>F1, заданого умовою
????
Оператор неперервний: (х, у)(f) (х, у)() виконується при х>55 для довільної скінченної f, при х55 умова викону-ється для кожної скінченної f такої, що x+7D та f(x+7)D . Отже, має ННТ, нехай це функція fH . Для кожного х>55 маємо fН(x)=(fН)(х) = х?6. Тепер fН(55)=(fН)(55) = fН(fН(62)) = fН(56) = 50. Тоді fН(54)=(fН)(54) = fН(fН(61)) = fН(55) = 50. Продовжуючи далі, аналогічно дістаємо fН(53) = fН(54) = 50, …, fН(0) = fН(1) = 50. Отже, fH ? єдина нерухома точка оператора , причому така fH має вигляд
fН(x) =
